Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
( і \ С 3 \ 3 ( 1 \
ABl Д =Л{ Д = Д =Dj Д , WM \ / 2 J 2 1 \ 3 2 )
откуда видно, что это произведение равно D.
Легко проверить, что данное множество из шести элементов удовлетворяет всем I — IV постулатам группы.
Произведение двух элементов группы дает всегда третий. Например, легко проверить, что AB = D, BA = F, AA = A2 = E, DD = D2 = F. Последовательное применение операций В и А эквивалентно операции D, а применение этих же операций в обратном порядке эквивалентно операции F. Таким образом, группа неабелева.
Непосредственно из геометрического смысла следует: A'1 = A, В'1 = B, С'1 = C, D^ = F, F'1 = D. В результате мы можем составить следующую таблицу умножения группы (табл. 11.1). Эту группу шестого порядка обозначают часто как D3.
Таблица II.1
¦«— 1-й множитель (правый)
E А В С D F
E E А В С D F
А А E D F В С
В В F E D С А
С С D F E А В
D D С А В F E
F F В С А E D
t
2-й множитель (левый) 35 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ 1ГЛ. Il
3. Заметим, что в каждой строке и каждом столбце табл. II. 1 каждый элемент группы встречается только один раз. Это связано с тем, что если мы имеем группу Щ= IA1 ^E, A2, A3, ..., Ah) порядка h и составим произведение из всех элементов группы на один из них, т. е.
AkE, AkA2, AkA3.....AkAh, (2.1)
то мы получим все элементы группы, но в ином порядке (сдвиг по группе). В самом деле, для этого надо только показать, что все произведения разные, так что не может, например,
AkA2 = AkA3',
в самом деле, умножим слева обе части этого равенства на Ak1, тогда Ak1AkA2 = Ai1AkA3, или EA2 = EA3, или A2 = At в противоречии с определением группы.
Если мы будем какой-либо элемент Ak возводить в степень, то будем получать другие элементы группы до тех пор, пока не достигнем степени п, называемой порядком элемента Ak, такой, что Ak = E. В результате получим последовательность элементов
Ak, А\, Al ..., Al = E. (2.2)
При дальнейшем возведении в степень эта последовательность будет повторяться (Afrl ^ AkAk-EAk = AtJ), поэтому она называется периодом элемента Ak и обозначается: {Ак). Например, для элемента D группы D3 имеем {D) = {D, D2 = F, D3 = E).
Очевидно, что период элемента Ak образует абелеву группу порядка п, она называется циклической. Вообще, если мы в заданной группе можем выделить некоторое множество элементов, тшсе образующих группу, то она называется подгруппой. Таким Орраврм, Е, D, F—подгруппа группы D3. Тривиальной под-рруппой первого порядка (для каждой группы) является единичный элемент E- Так как каждая подгруппа должна содержать единичный элемент, то из группы мотат быть выделена только одна подгруппа, так как оставшиеся после ее выделения элемента вообще Не содержат единичного элемента.
Для конечных групп можно доказать, что порядок подгруппы g есть цельїй делитель порядка группы h, т. е. h/g—целое чиело1).
Для циклической подгруппы {?>} группы D3 имеем: 6:3=2. Отсюда, в частности, следует, что если порядок группы h—простое число, то она имеет только одну (тривиальную) подгруппу Е.
Вигнер Е. Теория групп.—M.: ИЛ, 1961, с. 77, $2}
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
37
4. Говорят, что элемент В сопряжен элементу Л, если
B = V-1AV, (2.3)
где V—один из элементов группы. Умножая (2.3) на У слева и К-1 справа, получим
A=VBV-1 = (У-1)-1 BV-1^U-1BU,
где U =V-1—тоже некоторый элемент группы. Таким образом, если В сопряжен с Л, то Л сопряжен с В.
Покажем, что если В сопряжен с Л и С сопряжен с Л, то В сопряжен с С. Имеем
B = V-1AV, C = X-1AX, тогда A = XCX-1, а
В = V-1XCX -1V = (X-1V)-1CX- 1V = Z-1CZ,
где Z = X-1V—тоже некоторый элемент группы. Таким образом, если в (2.3) мы вместо V будем последовательно подставлять все элементы группы, то получим совокупность всех взаимно сопряженных элементов, которая называется классом. Определим класс группы D3, содержащий элемент Л; элементы, сопряженные с Л:
E-1AE = A, A-1AA = A, B-1AB = B-1D = C, C-1AC = B, D-1AD = C, F-1AF = B,
где мы воспользовались табл. II. 1. Таким образом, соответствующий класс есть: Л, В, СГ
Единичный элемент сам по себе образует класс, так как V-1EV = E для любого V. Легко показать, что элементы DuF тоже образуют класс группы D3. Таким образом, группу D3 можно разбить на три класса:
1) Е, 2) Л, В, С, 3) F, D. (2.4)
Всякая группа может быть разбита на классы, причем один и тот же элемент не может входить в два разных класса.
Каждый элемент абелевой группы образует класс. В самом деле, для абелевой (коммутативной) группы: V-1AV = V-1VA = А для любого V, т. е. каждый элемент сопряжен только с самим собой.
Понятие класса чрезвычайно важно. Оно, конечно, не совпадает с понятием подгруппы. Все классы, кроме Е, например классы 2) и 3) в (2.4), не имеют единичного элемента, без которого не может существовать подгруппа.
Подгруппа, состоящая из одного или нескольких целых классов, называется инвариантной или нормальным делителем. (Вообще говоря, подгруппа не всегда состоит из целого числа классов.)
