Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теория групп -ставит себе целью, исходя только из свойств симметрии физической системы, ответить на ряд вопросов, связанных с ее состоянием. При этом нас будет главным образом интересовать симметрия потенциального поля, действующего на систему (например, симметрия периодического поля, действующего на электроны проводимости в кристалле), а также симметрия, связанная с обращением времени: t—>•—і.
Развивая некоторые общие методы, теория групп позволяет: 1) систематизировать кристаллы по их симметрии, 2) классифицировать нормальные колебания кристалла, 3) классифицировать квантовомеханические состояния электронов проводимости в кристалле и электронов на примесных атомах, 4) определить правила отбора для матричных элементов перехода в системе и др.
Solid State Theory./Ed. by P. Т. Landsberg. —London, 1969, главы IV и V — очень последовательное и понятное изложение; Tinkham М. Group Theory and Quantum Mechanics. — New-York, 1964—одна из лучших книг по применению теории групп в физике (собственно твердому телу посвящена только последняя VIII глава); Вир Г. JI., Пикус Г. Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках,—M., 1972—е«?ьма обширное и глубокое изложение вопроса. §1]
ВВЕДЕНИЕ
31
2. Рассмотрим два простых примера, когда следствия, вытекающие из симметрии системы, могут быть получены элементарным путем, без применения аппарата теории групп.
А. Рассмотрим атом гелия, у которого имеются два электрона. Если пренебречь слабым взаимодействием между спинами электронов и их орбитальным движением, то полная волновая функция электронов может быть представлена в виде произведения координатной функции Il^r1, г2) (ги и г2 —радиусы-векторы электронов) на спиновую функцию v(szl, sz2) (szl, и sz2 — проекции спинов электронов на ось г). В силу квантовой неразличимости электронов координатная часть волновой функции ^(T1, г2) при перестановке электронов может приобрести только множитель є, равный по модулю единице. Но в результате дважды произведенной перестановки электронов W1, г2) = г^{г2, г у) = BaIKr1, г2),
откуда е2 = 1 и, следовательно, є = —(— 1 или е = —1. Таким образом, мы можем классифицировать состояния электронов в атоме гелия:
г|>(г1( r2) = ty(r2, гх)—парагелий с симметричной координатной волновой функцией;
г|з(г1( г2) = — г|з(г2, T1) — ортогелий с антисимметричной координатной волновой функцией.
Так как полная волновая функция, равная произведению 1I3 ('"і» ri)v (szi, ®г2), должна быть, в соответствии с принципом Паули, антисимметричной, то спиновая волновая функция V (szl, sz2) для парагелия антисимметрична, а для ортогелия — симметрична.
Из симметрии, связанной с перестановкой неразличимых электронов, следует, что парагелию с антисимметричной спиновой функцией соответствует синглетное состояние с противоположно направленными спинами и с общим спином, равным нулю; аналогично можно показать, что ортогелию с симметричной спиновой функцией соответствует триплетное состояние с параллельными спинами, с суммарным спином, равным h.
В самом деле, пусть a (i) и ? (і) — спиновые функции г'-го электрона для спинов, соответственно направленных «вверх» и «вниз»; тогда три симметричные спиновые функции для обоих электронов равны
„(1)„(2), p(i)p(2,,«jMi^m,
где V2 введен для нормировки. Можно показать, что полный спин каждого из этих трех состояний равен A (для первых двух это очевидно *)). С другой стороны, можно составить только одну
1J Для третьего см. Б л о X и н ц е в Д. И. Основы квантовой механики.— 5 изд.—M.: Наука, 1976, § 121. 31 SJIEMEHTH ТЕОРИИ ГРУПП И СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
1ГЛ. Il
, а (l)? (2)—а (2) R(I)
антисимметричную спиновую функцию, равную—5— --— ,
V *
с общим спином, равным нулю.
Мы видим, что классификацию электронных состояний атома гелия можно произвести на основании простых соображений симметрии, связанных с неразличимостью электронов.
Б. В качестве второго примера рассмотрим матричный элемент дипольного момента
М* = SИ У* (r) x^ (r) dx dVdz'
возникающий в атоме, если электрическое поле световой волны колеблется вдоль ОСИ X. Здесь Ip1 (г) и я|э2 (г)—волновые функции валентного электрона в атоме. Вероятность поглощения света в дипольном приближении для перехода —>г|;а пропорциональна квадрату модуля матричного элемента, т. е. \МХ\3. Состояния электрона в сферически симметричном поле атома можно классифицировать по его орбитальному квантовому числу I
I = О, ..., S—состояние невырожденное, 1 = 1, ..., р — состояние трижды вырожденное, 1 = 2, ... ,d—состояние пятикратно вырожденное
и т. д.; s-состоянию соответствует сферически симметричная волновая функция (г) (г = |г|); р-состоянию—три волновые функции, которые могут быть записаны в форме: х<р (г), уу{г), ztp (г) и т. д. Эта форма волновых функций электрона является непосредственным следствием сферической симметрии действующего на него поля.
Легко видеть, что если оба состояния электрона и гр2 являются s-состояниями, то подынтегральное выражение в Mx будет нечетной функцией х, поэтому при интегрировании ПО X от —оо до +оо интеграл будет равен нулю. Если же одно состояние есть s-состояние, а второе — р-состояние, то для волновой функции р-состояния хц> (г) подынтегральное выражение — четная функция от всех переменных и, следовательно, МХФ 0.
