Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнения (9.13) имеет вид
v == а1г,Л(r) + айг~^2, (9.14)
где а,1, аг - произвольные постоянные. Из втррого уравнения системы
(9.13) слеДует
в = ^ (1 - /2) г* + а, ( /2 + 1) г" *4 (9.15)
Теперь в; определяется из уравнения
rw' = с2[в'2 + + 4) + w'2 + -р-J 7 " (9Л6)
где и, v заданы формулами (9.13), (9.15).
Пусть а2 = с2 = 0. Тогда решение имеет вид
в = (l - ]/2)r^e6^, v•= OjT^e(r), w = Be6, В = const.
Полагая at == 1/8(2 -1/2), найдем компоненты тензора напряжений
Найденное решение, в частности, можно использовать для описания
пластического течения цилиндра с вырезанным сектором раствора а. При этом
на торцах цилиндра действует суммарная к
сила Р, Р = 2л J azr<Jr, на боковую поверхность r - R действует • •
внешнее давление д, а на грани сектора, первоначально задаваемые условием
0 = 0, 0 = а, действует нормальное давление <? = сге. ¦ ' -
3°. Ищем решение на подгруппе X" + аХы, оно имеет вид
и = 7-/(0), V - 7-g(0), W = 7-W0), Р = Р(0).
При этом компоненты девиатора тензора' напряжений равны
Sr = Ясс/, ?, = Mg' + /),?* = О, 25,е = Я(/ + (а - l)g), 25""Яай, 2Sez =
Xh', (9.17)
Я =]V2kt [2 (а/)2 + 4" (/ + (" -1) g)2 + а2/*2 + у й'*]"1/2.
С учетом (9.17) система уравнений (9.8) запишется следующим образом:
^-+5г-5в = °, 5г + 5в = 0/
§ + Т+5" = 0, (9.18)
5? + + 2S?e + 2S% + 251, = 2#. * .
Решим эти уравнения при о = 1, В этом случае имеем S, = = -5е = 2|5гв,
поэтому из первого уравнения системы (9.18) следует .
^ + 45* +О, SrQ = с*^-40.
Теперь для определения оставшихся компонент тензора напря- ' жения имеем
два уравнения
~ + STZ = 0, * S*" + SI = А*- 4с2е-86.
Если в системе уравнений (9.17), (9.18) положить и = ь> = 0, тогда
Sf,z = Ci cos 0 + cz sin 0, Srt = ct sin 0 - c2 cos 0, где с2 -f- c\ =
kl, при этом 1
ел = c(ctrcos 0 + c2r sin 0)*, с = const.
Р'ие. 6.
Рае. 7.
Это решение можно интерпретировать как пластическое, течение отрезка
трубы, ограниченного поверхностями 0 = 04, 0 = 02, г = = i?i, г = Д2
(рис. 6).
4°. Ищем решение на подгруппе Х8 ± Хв + аХ5, оно имеет вид
в=/(0), у==Л(0), u? = d:lnr + g(0), vP=alnr + P(0),
при этом компоненты девиатора тензора напряжении равны Sr=* 0,' 5в - Ш' +
/); 5* = О, '
25,е == Kf, 2Srt = 2Sex =
(9.19>
С учетом уравнений (9.19) система (9.8) сводится к следующей системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
"15,
ЗГ~". гг,-"Т^
dQ
+ Sn = О, S 0 = 0.
+ "S'*! + SrX - k\.
. ч
Из этой системы следует
5,е -а0 + со, ^' + / = 0,
^ez + 52" = fca.-(a0 + co)2,
dS,
ez
dQ
+ 5,* = 0.
Бели положить здесь а - 0,'то имеем : 5oz = Ci cos 0 + с2 sin 0,
Srz ^CjtSinO - c2 cos0, c\ + c\ = kl - e2 = K. Поскольку 25,* = ±X *= c,
sin 0 - c2 cos 0, to
% = x(c, sin 0 - c* cos 0)/2, v. = sign (c, sin 0 - сг cos 0),
отсюда
1
:lh?Intg (4^ + ?)*+c"
72
де sm р = cjK, cos p = c2/K, ¦ с - произвольная постоянная. Функция g
определяется из уравнения Kg' =Sez,
g = -In (с, sin 0 - c2 cos 0).
Окончательно при a = 0 получаем
u = + l) + c' Vts=- J "<*0,
w = ±ln r - In (c, sin 0 - c2 cosD).
Это решение можно интерпретировать как пластическое течение сегмента
трубы, ограниченного поверхностями в"= 0i, 0 - 02,. г = /?i, г = /?2
(рис. 7). На внутреннюю и внешнюю поверхности трубы действует равномерно
распределенное касательное напряжение Sr* = с0. На -плоскости 0 = 0t, 0 -
02. действуют равномерно распределенные касательные напряжения S6, - A,
S's**В.
Глава 4
ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА КВАЗИСТДТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕСКА
- В случае полной, пластичности (ребро призмы "Треска) компоненты тензора
напряжений равны [29]
- а ц = 2к,(Р&ц + ищ),
гДе vu vt, v" - направляющие косинусы первого главного направления.
Подставляя их в уравнение равновесия (0.1), гл. 3, имеем \ следующую.
систему квазистатических уравнений Треска:
Р-{ + vjvti j + ViVCt, = 0 (i, /, " = 1, 2, 3), . "
¦ , - ' • *?¦+ н1 + п* = 1, ' (0.1) •
Р - Р(хи Хг, Х3), Vt = VilXi, Х2, Х3).
Заметим [1011, что если
0, . (0.2)
то система (ОД), (0.2) есть система уравнений, описывающиу стационарное
течение несжимаемой жидкости с постоянным модулем скорости (винтовое
течение).
5 1. ДОПУСКАЕМАЯ ГРУППА
Допускаемый системой (0.1) оператор ищем в виде
v Л д , п д , " д
Таблица
4
2
3
a) Xlt b) Х4, с) X7 + Xs, d) aX4 + XB a) Xlf aX4 + XB, b) Xf, X4, c) Xt,
XB, d) X4, X3 I Xi, x* X4, b) Xt, X4, Xit с) X3, AT*, aX4 +
+ x8, d) xs, xe, x7 .
) X2, X3,rX4, XB, b) X, " " ~ ' "
c) X4, Xg, Xe, X7
a) Xt, Xi ' _+ a) X.
if aj, л4, л7
]x4, Xg, b) xlt xt, Xs, aX4+X,
V/ A-4> Xg, Xg, X7 a) Xlt X2"X3, X4, Xg
.Л V V V у . у у ЛВ> Лв1 7
5"
/ Л1| Л21/ Л3>
а) Х>, Х3, Х3,
Здесь А{, В{; С (i = 1, 2, 3) - функции х{, v{, Р. Продолжив' один раз
этот оператор, подействуем им на уравнение (0.1). Затем, используя первые
три уравнения (0.1) и уравнения, полученные дифференцированием четвертого
уравнения (0.1) один раз по {i =1, 2, 3), найдем определяющие уравнения.
Интегрируя последние, получим, что А{, В{, С - линейные функции от хи Р.
Базисные операторы при этом таковы [11:
