Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
группового анализа, строим инвариантное-решение системы (8.1)-(8.2),
далее с известными о*, 0", т выписываем систему (8.3) и ищем группу,
допускаемую этой системой. Группа, допускаемая конкретной системой (8.3),
является, как правило, подгруппой группы, порождаемой следующими опе-¦
раторами:
¦V д ¦ -v 5 Л. д
+ .П-SJ-.
1 * д д д .д (0 *,
+ . (8.6>
уб-" ди + гв-*-^г - 0-^, ^8 -
Для построения всех существенно различных инвариантных решений системы
(8.1)-(8.2) необходимо построить оптимальную систему подалгебр для
алгебры Ьь (8.5). Поскольку система уравнений (8.1)-(8.2) зависит от двух
переменных, то можно ограничиться перечислением неподобных
однопараметрических подгрупп. Оптимальная система имеет вид (100]
Х, + оХ5, "Х. + Х^Х*, Xs + -fXs. (8.7)
Для алгебры Ли Ьв (8.6) оптимальную систему удобнее строить в каждом
конкретном случае.
Теперь, имея всю необходимую информацию, будем строить точные решения.
2°. Поля скоростей для решения Прандтля.
1. Ищем инвариантное решение системы (8.1)-(8.2) относительно
подгруппы XXi + xXs) из. (8.7). Решение ищем в виде
ax = "(x+F(y), ay = ix + G(y), т = Жр), (8.8)
где F, G, Ы - некоторые функции переменной у. Подставляя (8.8) ' в
систему (8.1)-(8.2), получим известное решение Прандтля:
(8.9)
где А, Р - произвольные постоянные. Оно описывает сжатие пластического
слоя между параллельными жесткими и шероховатыми плитами. При этом
толщина слоя 2h считается значительна меньше протяженности слоя 21.
Необходимо отметить, что данное решение часто используется для решения
инженерных задач. Например, в работе [92J решение Прандтля применяется
для расчета напряженного состояния в пластическом слое угля вблизи,
забоя.
Для определения компонент вектора скорости имеем два уравнения:
Найдем груашу, допускаемую системой (8.10). Эта группа порождается
следующими операторами: -
*i-"?+Hk <" ">
Оптимальная система однодараметрических подалгебр имеет вид Хм Х, +
аХ5ГХг + аХ*, Х"+аХ*, Х. + аХ.+'рХ* (8.12)
В силу критерия инвариантности инвариантные решения могут быть построены
только на подалгебрах X, + aX5, X, + аХ2 + §Х*.
2. Рассмотрим подгруппу Х, +аХ* + рХ,. Решение, инвариантное относительно
этой подгруппы, ищем в виде
и - -<хху + (}а: 4- g(y), V - (а/2)жг.+ /(у), С8.13)
где /, g - функции, ^подлежащие определению из системы (8.10). Подставляя
(8.13) н (8.10) и решая полученную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений, получим
"== -аху + (te - arcsin-|- + Ij-Vh2 - у2- 0 Vb? - y2+clt . у - (сб/2Мж* +
р*) -Рр + с*,' ' (8.14)
• л
где е4, Сж-произвольные постоянные. Заметим, что при а = 0 (8.14)
переходит в известное решение Надай 182],.. при а=^0 лолучдем новое поле,
скоростей.
3. Построим возможнее инвариантные решения на подгруппе X, + аХ8.
Решение, инвариантное относительно этой подгруппы, ищем в виде
Uf=/(p)e"*, ' v = giy)er*.. (8.15)
Подставляя (8.15) в (8Г10), получим систему обыкновенных
дифференциальных, уравнений. Отсюда получаем;
V+fT-0:
g" - ai'g У .
Эта система сводится к, уравнений Риккати.
3°.. Инвариантные решения, опиеывающие течения в сходя-. щихся каналах.
, .
1. Инвариантные решения на подгруппе X, + TfX5 удобно искать в
полярной системе координат г9. Система (8.1)-(8.2) при. - этом
перепишется следующим образом:
дву 1 дх °г - °в Q
. - аг гае г ' - *
ar jL ао0 2т =
- аг + г дв + г , '•
- (о, - ое)а + 5т2 = Цв- (8-17)
58
JnepaTop Xi + jXs в полярной системе имеет вид
гу'+т(4:+^)-
Инвариантное решение относительно этей подгруппы ищем ' з виде
or = Ylnr + aW" Ое =ylnr-hb(6), т = с(6), (8.18)
где о, Ъу с -искомые функции. Подставляя (8.18) В формулы (8Л6)-(8.17),
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
у + с' + а - Ъ = О, V + 2с = 0, (а -Ц* + 4с* - 4ft?. (8.19)
Из этой системы следует дифференциальное уравнение для определения с(0):
с' + у = 2 ]/ ft? - сК ,г ' (8.20)
Пусть тогда из (8.19)-(8;20) находив решение Надаи [481 с(0) = ft, sin
(20 + Л,), W0) = ft, cos420 + j4,) + Аг, (ggjj e(0) = - ft, cos('26.+ А
|) + Аг,
где Аи Ах - произвольные постоянные.
Пусть у^О. Обозначим с = к,вщ2В, тогда уравнение (8.20)-запишется
следующим образом:
2ft, сое 2В~ + у = 2ft, cos 2В.
Отсюда получаем
I:
2ktcos2BdB _ ^ ^
- Y+2A,Cos 2В
Теперь, считая, что у2 > 4ft?, имеем
(8-22)р
где 8" - постоянная.
Считая, что y - большой параметр^получим из (8.19) и (8.22). согласно
1821
v¦ <8-23)
ае = ~1н"т т = -f-O,
а
где а - произвольная постоянная, Y = к,/а. Решение (8.23) приближенно
описывает напряженное состояние, возникающее при плоском течении
пластической массы В сходящемся канале в форме плоского клина, если клин
имеет'раствор 2а ж а мало.
2. Отметим также случай, когда с = 6. Тогда а = +Р, Ь = Р + + 2к" Р =
const и компоненты тензора напряжений равны
ат = -Р + 2 к. In (а/r), Ое = Or + 2 ks, х - 0. (8.24>
Это решение описывает напряженное состояние в пластической зоне около
круглого отверстия радиуса а. Решение С8.24) можно использовать для
