Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аннин Б.Д. -> "Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2" -> 23

Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.

Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 — М.: Наука, 1985. — 143 c.
Скачать (прямая ссылка): grupoviesvoystvauravneniyuprugosti1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 44 >> Следующая

ХВ = ~,Х{ =
д
дх.
, Х4 = Xij- (i = 1, 2,3),
Х6 - х2
дха
X,
sdx"
+ V.
гдх;
д
2^,'
(1-2)
9dv.
а операторы Xg, Х7 получаются из Х5 круговой перестановкой индексов 1, 2,
3.
Замечание. Способ отыскания операторов, допускаемых системой (0.1),
описанной выше, не является вполне строгим в "вязи с тем, что система
(0.1) содержит конечное соотношение между неизвестными функциями. Но
поскольку операторы образуют алгебру Ли L8, то эта алгебра является
подалгеброй алгебры Ли оператора, допускаемых системой (0.1).
Параметризуя конечное соотношение в (0.1), можно показать, что полная
алгебра операторов, допускаемых системой (0.1), совпадает с Lg.
Оптимальные системы подалгебр 0Г порядка г=1, 2, ..., о алгебры Ь8
указаны в табл. 3. При этом а - любое действительное число; ко всем
операторам необходимо добавить рператор Х0, умноженный на произвольное
число, поскольку Ха образует центр алгебры Lg.
§ 2. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Построим инвариантные решения системы (0.1) на подгруппах первого
порядка. В случаях 1а, 26 (см. табл. 3) решение имеет вид (? -
произвольное число) ' -
v4 = Vt(A,, p.), Р = Р(Х, p.) + g{xt) Ц - 1, 2, 3), (2.1)
74
причем для 1 а будет Я =>х2, р, ==у3, g = f>xlt а для 16 соответственно Я
= Xi/хг, р.= xjx3, g = pinla;,!. Уравнения для функций
Vt{Я, р.), Р(Я, р) получаются из . (0.1) после подстановки в них (2.1).
' *
В случаях 1с, Id решение имеет вид. (р ¦- произвольное число)
vx = У,(Я, р), Р =*Р(Я, р) + g(xt), v2 = V2(k, р) cos tv, vt = У3(Я, p)
sin w,
причем для 1c
Я = {x\ + a|)1/2, p = x± - arctg Xblxv
w = xt + ?2(Я, p), g(xt) = рж4, а для Id ' ¦ ¦
Х=хТ\х1 + гс|)1/2, p = In | Xi p/" _ arctg
2
g (xt) = P In jjT! I, w = In I xx I1/(r) + Q (Я,р).
Для получения уравнений относительно функций Vt, V, г, ьг, зависящих
только от Я, р, следует поставить (2.2), (2.3) или
(2.2), (2.4) в (0.1). .Это удобно делать в цилиндрической системе
координат.
Таким образом, в случаях 1а d пространственная задача сводится к
двумерной.
Строим инвариантные решения на- подгруппах второго порядка. В случае 2d
функции vf, 'Р зависят только от х3, в случае 26 функции vu Р зависят от
полярного угла 0 = arctg х3/х2. При этом можно также и Р добавить функцию
g(x,, х2, х3), равную $xt + -4"рг, в случае 2d и 7 In \х2\ в случае 26,
где р, 7- произвольные постоянные. В случаях 2а и 2с решение имеет вид
н1 = У1(Я), Р = РШ, v2 = У(Я) cos w, v3 = У(Я) sin w. (2.5)
При этом в случае 2а
Я = In {х\ + 4)1/2 - " arctg J,
х2 (2.6)
w = arctg 1(ж3/ж2) + g (Я),
а в случае 2с
Я = x~l(xl + а?)1/2, w = arctg (х3/х2) + g (Я). (2.7)
Отыскание функций Vu V, Р, g, зависящих только от Я, сводится к
интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
получаемой из (0.1), (2.7)-(2.9), и в ряде" случаев может быть доведено
до квадратур. На подалгебрах 0Г, г >2, содержательных инвариантных
решений нет.
(2.2)
(2.3)
.(2.4)
§ 3. ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЕ
. Переходим к построению некоторых частично инвариантных ]решений. В
случае 'За (см. табл. 3) ищем решение в виде
vt=Vi(Р), Р=*'Р(хь х2, х2) (i= 1,2,3). (3.1)
Из (0.1) получим
(Рбц+V^YP^O. . (3.2)
Здесь и ниже штрих обозначает производную по Р. Приравнивая нулю
определитель этрй системы относительно Pti. (i = = 1,-2,'3) и учитывая
(0.1), найдем
(f;)* + .(f')"+<f4)* = i. , (3.3)
Если теперь взять функции Vi(P), удовлетворяющие (3.3), и определить Р -
Р(хи х2, х,) из (3.2), получим решение системы (0.1). Это решение будет
зависеть, вообще говоря, от двух произвольных функций одной переменной.
Например, для
Vi =' sin Р cos т, v2 - sin P sin -y, v3 = cos P, (3.4)
где t - произвольная постоянная, из (3.2) находим
Xi cos 7 + хг sin к + xt tg (P + at/4) = G(P). , (3.5)
Здесь G(P) - произвольная функция от P. Придав- ей определенное значение,
найдем P = P(xlt хг, xs), а затем по (3.4) и vt. В этом решении Р = Рв =
const, = const на плоскости, определяемой Из (3.5) с Р = Р". В
случае 86,- Зс ищем решение в вида
vt = cos 0(Р), v2 - sin 0(f) cos w, vs = sin 0(F) sin w. (3.6)
Принтом в случае 36
~ . w = arctg xjx2 +, g(P), (3.7)
а в случае Зс
и? = In \х\и* + g(P). (3.8)
' Подставляя (3.6), (3.7) или (3.8) в (0.1) и исследуя совместность
полученной системы уравнений относительно. Р = Р{х2~, х2, ж"),, найдем
вид функций 0 = 0(Р), g - gtP), а затем и функцию Р = P{xi, х2, Для
случая 3d будем иметь
П = /(Я), Р= Р(к), к = (х\ + х\ + xl)v\ (3.9)
Для случая 4с
XiVi = g{P)(x\ + х\ + хХ)т.
Последние два Случая удобно исследовать в сферической системе координат.
-
В других случаях таблицы 3 частично инвариантные решения можно искать в
виде (3:6) с w= w(xt, х2, xs). Подставляя теперь (3.6) в (0.1), исследуем
совместность полученной системы отно-
76
ительно функций Р(хи х2, xs),w(xi, х2, хг). Это позволит найти
ФУНКЦИЮ 0(Р) И фуНКЦИИ P(Xi, Х2, Ж"), 1н(ж4, Хг, xs).
Замечание. Если в полученных выше частных решениях сделать замену
зависимых и независимых переменных посредством формул преобразования,
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 44 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed