Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
расчета напряжений, возникающих под действием сил внутреннего давления в
толстостенной трубе.
3. Для поля напряжений (8.24} поле скоростей деформации определяется из
системы линейных дифференциальных уравнений
• ^ + ^0- (8-25)
Система (8.25) приводится к линейному уравнению второго порядка в частных
производных '
. d2v 2 d2v dv
5-= -Г2 -r- + V,
дв2 дт2 дг
которое можно решить методом разделения переменных.
4. Рассмотрим случай, когда с Ф 0, а функция а(0), 6(0), с(0) суть
решения системы (8.19). При этом компоненты вектора скорости определятся
из системы
_ ди -- ¦> 2/* *
дг а - Ь ди , и . 1 dv " -/0 пс\
~дй-я-"-2Г-' йГ + Т + ТЖ^0- <8*26>
-aS+r-aT-v
Система уравнений (8.26) допускает группу непрерывных преобразований,
порождаемую операторами
(8.27)
Инвариантное решение системы (8.26) можно построить только на подгруппе
Zs + $Z2. Это решение ищем в виде
* и = 7^/(0), v = r*g<Q), (8.28)
где /(0), g(6) - некоторые искомые функции, fi- произвольная постоянная.
¦*
Подставляя (8.28) в (8.26), имеем
= = *' + /№ +1) = °; (8*29)
Из формул (8.29) видно, что для определения / и g получается уравнение
второго порядка с переменными коэффициентами. В общем случае трудно
ожидать, что его удастся свести к квадратурам. Но система (8.29) сводится
к квадратурам при р=±1. Пусть р = -1, тогда
g = A, (/' - 2A)F(Q) = -2/, (8.30)
где А - постоянная. Если положить, что А = 0, а величину а
"читать малым параметром, то из уравнения (8.30) и (8.23) по-лучцм
приближенное значение 'компоненты скорости
и = -jr (1 ¦+ 2 Усе2 - 0а),
где и0 - произвольная постоянная.
Пусть Р = 1, тогда из (8.29) имеем
/72/ = 2с/(а - Ь), g' = -2/, (8.31)
отсюда получаем
. / = ^exp(J^d9), V--2/, (8-32)
где А - произвольная постоянная. Считая а. малым параметром, из (8.23) и
(8.32) имеем - . "
f = A exp (-4аV1 - 07а*), g' = -2/. (8.33)
Поля скоростей (8.32) и (8.33), тоже могут быть использованы при анализе
напряженно-деформированного состояния в сходящихся плоских каналах.
•4°. Инвариантные решения, описывающие течения в канале, стенки которого
образованы логарифмическими спиралями.
В последнее время широкое применение получило горячее прессование
кольцевых и спиральных заготовок в криволинейных каналах. Такой процесс
для жаропрочных сталей и сплавов титана весьма аффективен, так как
позволяет исключить операцию гибки, уменьшить припуски и получить
значительную экономию/ металла. В ряде случаев профиль матрицы можно
описать в виде логарифмических спиралей [9].
В книге [45] упоминается о том, что Гартман показал возможность
существования .пластических'течений, границами которых служат две
логарифмические спирали. В работах Б. Д. Аннина [1, 100] для таких
течений были указаны поля напряжений. Некоторые частные случаи подобных
течений позднее рассмотрены в статье [9].
,1. Спиральные течения суть инвариантные решения, построенные на
подгруппе аХ4 + X*.+ тХ5. Их следует искать в виде
Or = КФ +/Ш, o, = f<p + gM, оГ(р = Ш,), Я = гехра<р. (8.34)
Подставляя соотношение (8.34) в систему (8.16)-(8.17), получим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений от переменной X, которая имеет
вид [1001
Xf+ ah,X + f - g = 0,- Xh' + fi + <t'Xg' + Zh - 0,
* (8.35)
(/-^)a + ^2 = 4Af,
где штрих означает производную по X.
2. Пусть а - 0, тогда из (8.35), получаем
rf' + f-g = 0, тй' + 2к + ч = 0,
(/-g)2 + 4fca = 4tf.
61
Из второго уравнения (8.36)имеем
к~с1т*-ч1% , (8.37)
где с - произвольная постоянная. Из условия текучести получаем
* /-*-±2}Лг-Ла. (8.38)
Теперь функция / находится квадратурой из первого уравнения системы
(8.36). ~
Бели 7 = 0, .то найденное решение переходит в решение Мих-лина'[34].
3. Для нахождения поля скоростей в случае а = 0 имеем следующую
систему уравнений: _
ди и Л dv г------------
дт г г дв V к* •- * ди и I Qv п QQV
в ( V Г~ГлГ А ' SF +Т + Т^ё " 0 (8-d9>
О /и\ _1_ du
т дг \ т ) V г дВ
Система (8.39) допускает операторы
у ___ 5 у д 1 ' 5 у 5
1ё' Аа + v~dU' Аз "* rftT-
Оптимальная система имеет вид
х, + рх8, x"+pxs.
Инвариантное решение на подгруппе X, + рХ2 ищем в виде
и = и*(г) ехр ?0, у = у* (г) exp р0. (8.40)
Подставляя (8.40) в уравнение (8.39), имеем
2ги*' У(ка - уЩ г* + 2Усг2 - с* __
^(aVrJ' + PM* _ с - (у 12) г2
= 21 (г), ги*'+ и* + ру* = 0. (8.41)
Выразим из второго уравнения у* и подставим в первое. В результате
получим уравнение второго порядка
2pr"*' =A{r)l-tu*" - ги*' + и*(1 +.а*)1.
Если Р = 0, .то получаем известное решение:
"--г- !'-г[21д5Г+4
где Ci, с, - произвольные постоянные.
4. Рассмотрим подгруппу X, + pXs. Решение на этой подгруппе ищем в
виде ,
ы = ф,(г), -у = рпр + ф^(г).
62
'.истема для определения функций if,, имеет вид
'2г*' -^(г); ^-(пЫ + Рг-О,
' ' - ¦*?(•?)+> где Л(г) определена в (8.41), В результате имеем
-h-f'-Г- -
и--11-i, "-Pnp + rj-ilt*., . . .
где с, - произвольная постоянная.
5. В случае а Ф 0 - из системы (8.35) • получаем уравнение [100]:
¦
сЛ(/' - *').+Я(а* - Ш' + a(f-g) - (2h + у) = 0. (8.42)
