Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аннин Б.Д. -> "Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2" -> 25

Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.

Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 — М.: Наука, 1985. — 143 c.
Скачать (прямая ссылка): grupoviesvoystvauravneniyuprugosti1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 44 >> Следующая

координат. .
2. Инвариантные решения, построенные для системы уравнений (0.3) на
подалгебрах оптимальной системы (1.6):
У4 + aZ4 + р5: в =?= в(г, z, ?), в = в(г, z, ?) -kar0, w = гв(г, z, t),
aP = - p0 ^ PCr, z, t),
JV + aZj+.[}?: в = ?в(г, z, g), в = ?в(г, z, g), w = tw{r, z,
g), aP =
= -p0 + P(r, z, g), g = at + 0,
X4 + aX2+p2\+ ¦)(?: b4-B4(g, я3, t), в2 = - ря4я2 + в"(|, я2, ?), в3 =
(P/2a) Жа + Вз (I, Xg, t), P = -yxt + P(g, ж3, t), g =
= axi - ж2,
X4 + aN + pZ4 + fS: b = ?b<|, rj, r), v = tv(r, g, rj), и? - ?гв(г, g,
t]), P = -fz + P(.r, I, T]), g = pz + 0, rj = In f - qz,
Y, +aT1 + pZi + '/.S (p=^0): в = в(г, z, t), рв = czr0 + v(r, z, t), w =
w(r, z, f), pp = -TfO + P(r, z, f),
У4 + aitf + pZ4 + ¦]f5' (lal + tpl =^0): b = b(tj, ?), b = b(|, tj, ^),
Pib = -0 + iB(g, rj, g) . (aiB = In i + ib(|, tj, ^)), pP =
T0 + P(S, rj, ?) (aP = lni + P(|, T], Cl).
(a =3^ 0):'| = r/f, t] = z/f, ? = p In t + a0,
J + aN+$Zi + 4S: в = г"в(|, rj, ?), v=?rav(g, q, ?), w =
= rj, ?), P = 7lnr + P(|, rj, ?), l = r/t, tj =
z/f,
t = p in r+e,
X0 + a(M - W+'frZ^tS (а Ф 0): ru = u{\, q, ?), rv = vi%, 4, ?), tw = w(l,
q, ?), P = 4t + P{?, rj, g), g = p0 + l, r} - r/z, at + In r = ?, .
(a -0): B = u(r, z, g), v = v(r, z, g), w = w(r, z, g), p = Yi + + p(r,
z, g),
Xj + aFi + рГ, + '](Z1 + 6S: u - uir, 1, g), n=prz + i;(r, t, g), iw = =
az + iw(r, t, ^), P =? 6z4"p(r, t, g), | = yz+ 0,n Af + iV + aT^+p^ + YS:
w = ra(g, q, g), B = arjnr + tf(g, q, ?), н; = гн;(|, tj, ?), P=flnr±P(l,
q, ?), | = r7f, q = zYi, ?=plnr+0, - '
X" + aXj + рУ, + y^i + fiZj + e?: и = в(г, g, q), у = -Yrf+y(g, r, r]),
Н7 = Р* + H>(g,'r, q), P = et+P(l, r, q), g = at - z, q = = 6t -0,
где it, у, ty - компоненты вектора скорости в цилиндрической системе
координат.
§ 2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
1°. Уравнения плоской задачи динамической теории пластичности имеют вид
ч •
/ ъ
__Л + ViVlti + У2У1,й + Р, 1 .= ?и,1 + п - ¦ . (2.1)
¦gj" +-^1^2,1 + V2V2,2 '+ й;! = 512ii + S22,2f
Sn = Я,У1,1, S22 =ЛУ2,21 . 2s12 = Я, (1^1,2 + n2,i),
__ Pi,i + n2t2 = 0, Sh +,У22 + 25^2 = 2k,.
Группа, допускаемая системой (2.1), порождается, операторами
7 д 6 -U д а Я lt\ а ^ ^
Li = ft (t) щ + fi (t) ~ - Xifi (t) ~ (no i не суммировать), где (fit),
fi(t) - произвольные функции из класса С".
Б. Д. Анвин, В. О. Бытев, С. И. Сенатов
81
Если ограничиться конечной подалгеброй с. оазисом •
то оптимальная система' одномерных подалгебр для алгебры Ли
(2.3) имеет вид
Х0 + aFi, Xi + a,Y2, X0 + aZ, M+aYi, M + aZ, Z, (2.4)
где a - произвольная постоянная, различным значениям а соответствуют
неподобные подалгебры, S - центр алгебры Лц L*.
2°. Инвариантцые решения, построенные на одномерных подалгебрах системы
(2.4), имеют вид
Z+aS: Hi(r, f), Vtir, t), P = aB+P(r, f),
Xo + aFi + pS: iv= -at + Vi(x2, at - Xi), v2 = v2(x&, at - xj.
XB + aZ + p?: v± = i>i(r, at - 0), v2 = v2(.r, at - 0),
P = pt + P(r, at - 0),
.Xi + aF2 + P5: Vi - Vi(t, t)), v2 = v2(t, i]) + axt, P = p^ + Ptt, ц),
M -YaYi + P5: vx = rt(|, ц), v2 = y2(g, tj), P = p In t + P(?, ц),
? = xjt - a In t, T] =xjt,
M + aZ+^Si Vi=*Vi{\, rj), v2 = v2{\, rj), P = pinr+P(?, rj),
I = r/t, T] = r"e (r).
3°. Рассмотрим инвариантное решение на подгруппе М.
Это решение следует искать в виде
Vi = u(%, Т]), v2 = у(|, ц), Р = Р(|, fj), %=xjt, Т] = x2lt. \
После подстановки (2.5) в систему уравнений (2.1) получаем
" {(м - |) + и, "(у - rj-) + Р, 5 = ?", 5 + Si2, ",
Р = pt + Р(ж2, af - ж,),
т] = atXi -г a:2i
у, s(" - I) + - ч) + Р. ч = St2. {+ S22 ч, (2.6)
и 5 г ч = 0, 511 = 5, $22 = Яг II, 2512 = Я(и
Ищем решение системы (2.6) в виде
и = - | + 2/(т)), у = tj, Р =
-E + 2/(ti), у = г), P = P(|#ri), . (2.7)
тогда из (2.6),. (2.7) получаем
К
V ------------?----------и ?2 j- г. ft),.
(2.8)
(2.9).
где c(f) - произвольная функция от f.
Из соотношений (2.1), (2.7) получаем следующие выражения, для компонент
девиатора тензора напряжений:.
Sn =rp-,= ' t S22 = - S1U Sxa = -jz ' - • (2.10)
Интегрируя уравнение (2.9), имеем
b-± /l~K + CA; m = Г' (2-11) '
т./ + с Л"
- *
где с - произвольная постоянная.
' С учетом (2.11) соотношения (2.10) перепишутся следующий образом:
. ¦ I Su " b(mf + с), <S22 = -5И, 1S12 = АУ1- (mf+ с)Г (2.12)
Решая уравнение (2.11), получаем
*1 (/) - г] (0) = ± {2 \Е (}, а)-Я(ф, /с)] - [/ (f, а) - F (Ф, А)]}
(2.13)
где ф = arccos-7^==, A =3^i_ZLl. ?,((р) ^), /'Чф, А) - эллиптиче-. (/1 -
с |/ 2
ские интегралы первого и второго рода.
Для того чтобы было удобнее интерпретировать решение (2.5), преобразуем
переменные с помощью преобразований подобия
> ' / тт
хх - - ахх, х2 = - ах%" t = Н - at.
, Тогда решение (2.5) запишется следующим образом:
аХ. f \ аХо
U = -Я- la + - )' V ~ Н - at' ^ ^
Решение (2.14) можно использовать для описания пластического течения
слоя, расположенного вдоль оси Ox2, с первоначальной толщиной 2Я, который
сжимается в направлении ж2 жесткими шероховатыми плитами, сближающимися с
постоянной скоростью а. Тогда 2h - H^-at - толщина слоя в момент времени
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 44 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed