Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
решений, при построении которых не использованы операторы вращения, могут
быть найдены и в ани-' зотропном случае. В частности, М. А. Задоян в
работе [21] перенес некоторые решения, найденные в работах [20, 29], на
анизотропный случай. Из гл. Завидно, что то же самое можно сделать с
решениями Хилла, Ивлева и некоторыми другими решениями.
1. Будем искать инвариантное решение на подгруппе <XS + X6> в виде
173]
и = Ах, v - By, w = - {А + B)z + fix, у).
Здесь А, В - постоянные, /- гладкая функция.
Компоненты тензора скоростей деформации равны еп - eiz - 0, 2е13 = -/*.
(1.5)
е22 = е33 = (А + В), 2е23 = fv.
Компоненты тензора напряжений определятся из выражений
аг2(ах - с2) + a$a(ox - о") = ЯА,
L - аи(оу - oz) + as3(ov - а*) = КВ, (1.6)
Оху - 0, 2Я]д0зи - Я/ж, 2ai9Gyz - Я/у.
Система (1.6) не может быть решена относительно компонент тензора
напряжений, поскольку определитель системы равен нулю. Но если
предположить, что
' ot = -MA + B)+P(.x,y), (1.7)
где Р(х, у) - некоторая искомая функция, то из (1.6) получим
о, = -aiPix, у) + ЯРц ov = -<х2Р(.х, у) + Яр*, (1.8)
Охг = Ух Я/к, Оу2 - ,
где
" Д11 ' " _ (r)22____________________________________________
1 а11а22 + (а11 + а22) в33 ' *. аиа22 + (а11 + Л22) аЗЗ*
а11(2Л + Д) + Ц,3(А + .В) *
1 а11а22 ("ll а22) азз
а2г(А+2В) + За33(А + В) аиая& ("и "22) азз
Yi = l/2ai3, Y*= 1/20".
Подставляя (1.7), (1.8) в (1.2), имеем
= [яц (Рг - Р")2 + а22 (Pi - Рз)2 + азз (Р2 - Pi)2 "Ь Yi (/ж) +
+улт~1/а=ы+у*ш+
Пусть А и В связаны соотношением
(-4 В)/Ъ[А В") - fljj/flu - СЕ33/^22,
которое в изотропном случае переходит в равенство А- В, тогда из (1.1)-
(1.3) получим '
Р = (ai/Pi)k + const, а функция / определяется из уравнения г
g ( У" \ | а / у/у
0Х I l/_ 1 "2/2 . ..2/2 I ду \ f ау2 , 2^,2
Это уравнение сводится к уравнению минимальных поверхностей
заменой__________________________________________
/ = У mtyix/yt, yJ^).
Решение имеет такую же интерпретацию, как в гл. 3.
2. Будем искать решение, инвариантное относительно подгруппы
ОЗ-Хи + аХи, Х3-Хц + аХ12>.
Решение ищем в виде. [73]
и = и{х) ехр |, v = v{x) exp ?,
' (1.9)
tv = ivix) exp %, P = P(.x) + a%t % = y + z.
Подставим (1.9) в (1.6), предполагая, что о* = с == const. Имеем
Яу - (flji 1 я33) Оу * ДцОх Й33С,
(1.10)
Яи? - (й22 ац)а* - dtiGy' Я22С, '
Мг + ш) =*2о2*о№ ЯЛ м+ t/) = 2al20xV, ЯЛи + a/) = 2а13о".
Из (1.1) имеем
ТУху ~ О/Х I С,, 'Озеz " OX I С2.
Если с4 - с2 и ai2 = CEi3, тогда хху = т*г. Отсюда следует, что v' = м/.
Пусть v - w, тогда из (1.10) получим
о" = + Y. ог = а2Я,1а+ y,
где ttj= (2йц + я2г)А, а2 =г= (2ац + а33)Д, y = сЛ(ацЯ22+а33(аи +
+ я22)), А-1 = а22йзз + ац(а22 + ais). Следовательно, о" = a23aiOyI + Tf
= PiO"z + у,
(1.11)
Oz = a23a2oUI + -у = p2o"z + if.
Подставляя (1.11) в условие пластичности (1.2), получим квадратное
уравнение для определения oyz: -
AoyZ + 2Bovz + Сг = 0, (1.12) _
где А = en (Pj Р2) + Pla22 + Pifl3s + 2я2з, В = (у с) (|$2я22 +
+ Pi"s3). =Zalsply + (у - с)2 (e22 + я33) - 1. Из (1.12) имеем _
• • / "_____________________
Aovz = -Б ±VJ52 - АС у. - -
Это решение можно интерпретировать как трехмерное течение пластического
анизотропного материала между плитами, параллельными плоскости Oyz,
которые сближаются вдоль оси Ох.
2°. Групповая классификация уравнений теории идеальной пластичности с -
общим законом текучести.
Систему уравнений, записанную в декартовой системе координат ху: '
-
i St' ^av', '0т /v ' z/ \ /I лqv
07 + Ж = °' ¦% + а7 = 0' = <113К
э
назовем системой уравнений теории идеальной пластичности с условием
текучести общего вида.
Решить для системы (1.13) задачу групповой классификации - значит найти
вид функции /, которая предполагается "произвольным элементом", чтобы
группа, допускаемая системой (1.13), была более широкой по сравнению с
G0. Здесь Ge - группа, допускаемая системой (1.13) при произвольном виде
функции /. Задача в такой постановке решена в [711. Здесь мы ограничимся
системой
fe + lH0' + (1Л4>
где а - постоянная, / - функция только от т, при этом из дальнейшего
рассмотрения исключаем случай, когда / = ат+ Ъ (а, Ъ - постоянные),
поскольку тогда систему можно свести к линейному уравнению второго
порядка, для которого группа известна [521.,
- Допустимый оператор ищем в виде
¦V t д - у д , . д д . - " д
' Х - ?l дхЛ + ^ &ГХ + Т1г 5т + 113 дау'
Продолжая" оператор, получим
92
_де.
_ 1 до - д% до..
Pi ^дзс?' Р' " дТ' Pi== дх~' Xl == Х' ¦ Х*~ У'
Действуя продолженным оператором (1.15) на систему (1.14) и переходя на
многообразие, задаваемое системой, получим
а\ _ naf^i п8 , рз , р2^} _ pi а%2 . gT1a ,
дх2 dov 2 дт 1 до 2дт- 2дж- дОх
1 ЗС К I 1
2
. п1 ^^2 | р2 ?2!? . р8 ??§ | рЗ р2 д?2 Q
/л )0\
+ Р* д^ + ^ + ^ toy + Рг - Р*-д^ " 0* (11Ь>
% _ Р2 ?5?рЛ 4- Р8 ?3* 4. Р3 _ Р2 -4- ??§ 4-
да^ 2 д(7х 2 дт 1 доу 2 drKj 2 дт2 дт2
I pi gt>3 I р2 *1, pj рз д?* р3 д| р ¦
+ ^2dZ + P2 д? + ^2 д^-^дГ-р*д7-и'
* If ? 2
Пз = ОСТ], + /'112-
Замечание: Здесь для краткости мы воспользовались ре-
