Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аннин Б.Д. -> "Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2" -> 24

Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.

Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 — М.: Наука, 1985. — 143 c.
Скачать (прямая ссылка): grupoviesvoystvauravneniyuprugosti1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 44 >> Следующая

соответствующих общему опера- , тору ?"*, то нолучим другие выражения для
частных решений.
Глава 5 .....- ,'- - ' . ' ,zzr
ТРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПЛАСТИЧНОСТИ
Если в уравнениях теории пластичности учитывать силы инерции, то
уравнения движения имеют гид
. = °ii,i ' (*. / =? 1,2,3), {0.1)
/г ^
dv. dv*
где + VjVi'j называется субстационалъной или полной
. • dvi Svi "
производной; в ряде случаев принимают Присоединяя.
к уравнениям (0.1) условие пластичности Мизеса, условие несжимаемости,
закон пластического течения, получим полную систему уравнений теории
течения Мизера
. <°-2>
- ЗР = ои, Sn ==Рбу + оц, SuSn - 2/tfi
: Sij = Яер, fi, i = 0, 2еа = vtij + vit t:
Если предположить, что конвективные члены в выражений для полного
ускорения малы, то получим упрощенный вариант теорш! пластического
течения среды Мизеса: 4
ivi_" '
ч at
- ЗР = Oji, S{j - P^ij - SijSij = 2A*> (0.3)
{= 0, 2e\j - Hi, j + Hj, i.
Исключая из уравнений (0.2) или (0.3) величины А,, о", У", получаем
систему' чётцрех уравнений, которая служит для определения четырех^
функций Р, у2, н2, н":
dvi п . ^2*, ; 1/2Л,_ _
^ . .i -т 24 fi^nnPn.imy
' Hi, i = 0, ' (0.4)-
где A* "= ^ .
77
§ 1. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПЛАСТИЧНОСТИ
dv. dv.
1 . Если в уравнениях. (0.4) =-щ + VjVitj, то группа,
допускаемая этими уравнениями, порождается следующими операторами [2,
691:
V а ", д , д г, ... д
о ~ dt' Wi + Xidx'.' ф(*)вр>
%
Li - /"(0 ^ + /"(*) Щ - *ifi ^ 4р (по * ие сУммиР°вать). (* ¦ 1)
v а а , а а
1 ~ Х* дзся Х* дх9 + V* dv, v* dv-
о л I Z
Еще два оператора Z2, Zt получаются из круговой перестановкой индексов,
ft, ф - произвольные функции из класса С".
dv. . dvj
Если в уравнениях (0.4) положить-^-"то группа, допускаемая этими
уравнениями, порождается операторами [2, 69)
V 9 V д л/г - * д . д
Хо gt t Xi - gx' М dt + Xi дх*
я я я' (12>
+ ^Za,Z9,S^^t)^"
rp a a m а а а а
Tl~x*dvb ^5^* Т*~ x*dvx XlaU3'Ts~x'Ldv2 X2aVl*
Li = gi (t) ^ щg[ (f) (no i не суммировать),
где ф, gi - произвольные функции из класса С°°. Из (1.1), (1.2) следует,
что уравнение (0.4) допускает бесконечнопараметрическую. группу
непрерывных преобразований. Это, с одной стороны, расширяет класс
инвариантно-групповых решений, а с другой - осложняет построение таких
решений, поскольку бесконечные группы еще плохо изучены. Поэтому в
дальнейшем ограничимся изучением некоторых конечномерных подалгебр для
алгебр Ли (1.1) и (1.2).
2°. Положим в (1.1) ф(?) = 1, ft = 1, fi - t (i = 1, 2, 3), тогда
соответствующая конечномерная алгебра Ли Ь12 имеет базис
Штимальная система одномерных подалгебр имеет вид •X"±y4 + pZ4, Xe±Z4,
Х",
Х4 ± У4 + <хУ2, Х4 ± У2, Х4, Х4 ± У4 + pZ4, (1.4)
X4±Z4, Yi + aM + ^Zi, M+aZi, Z4,
где а, p- произвольные постоянные, различным значениям а, ()
соответствуют неподобные подалгебры. Подалгебра S порождает центр в
алгебре (1.3), это учтено при построении системы (1.4).
Пусть <p(t) = 1, gt = 1 в (1.2), тогда соответствующая конечномерная
подалгебра порождается операторами
у ___ (r) У _______ д у _
о - at' * а^' 1 dvtf '
г d v9 , а в " a a
^ ai;3 Хз dv2': ~ ** aFl Xl dv3r 8 "'Xl dv2 2 a^'
v a a , a a _ 3:8 a^- 351 a^ + 178 at^ "171 v a a , a a P a 8 - 3:1 aar2
3:2 asj' Vl dv2 . 172 apj' ьр' ¦.
Оптимальная система одномерных подалгебр" для (1.5) имеет вид Х0 + ссХ4 +
рУ4 + tT, + 6Z4, M+iV + a^ + pZ* (1.6) Х4 + аУ4 + рТ^' + ifZ4, X0 + a(M-
jV) + pZ4, M+aAf+pZ,,
У4 + аМ + pZ4, У4 + аГ4 + pZ4, Х4 +aN + pZ4,
Х4 + аХ2 + рГ4, iV + aZ4, У4 -Ь aZ4, Z4,
ч
где а, р, у, 6 - произвольные постоянные, различным значениям этих
постоянных соответствуют неподобные подалгебры. S порождает центр в
алгебре Ли (1.6), это учтено при построении системы (1.6).
3°. Приведем вид инвариантных решении,' построенных на подгруппах (1.4) и
(1.6).
1. Инвариантные решения системы уравнений (0.2), ностро-' енные на
подгруппах (1.4), имеют вид:
Z1 + 5': п(г, z, t,), v(r, z, t), н>(г, z, t), P = a0 + P(r, z, i),~
M + aZt + $S'- u(|, tj, z), n(|, tj, z), и?(|, tj, z), p = plnr + + P(|,
4, z), 1 = r/*, t] = tV,
F4 + aM + pZ4 + fS: pu = - 0 + u(|, tj, z), h = h(|, tj, z), и? = = и?(|,
tj, z), pP = -ifG + P(I, tj, z), | - r/*, tj = i* exp <x6,
79
Xt±Zt + aS: в - b(zT0, r, t), v - b(z"T-0, r, t), w = w(z^Q, r, t, P = az
+ P(r, t, гТ0),
Xj + aS: z, О, и* = Вг(1/, z, f), и" = иц(у, z, t), P -
= ax + P(y, z, t),
. Xi ± Fj + pZ4 + ifiS: B = u(pz + 0t r, t), в = в(г, t, |), U7 =
±z+
+ w(r, г, g), P = Tfz + P(r, f, g), g = pz + 0,
Xi ± Y, + aY2 + pS: u4 = щ(у, t, z)±x, в2 = ая + b2U, y, z),
bs =
= us{y, t, z), P = $x + P(y, t, z),
X4± У2 + pS: u4 == щ(у, z, ?), U2 = щ(у, t, z) + x, u, = u,(?, y, z), P.
= P" + P(y, t, z),
Хв + aS: ul = ul(x,.y, z), Ug=s=u2(", y, z), в, = гг,(х, у, z), Р = = а?
+ Р(я, у, z),
Х0 + аУ4 + pZ4 + fiS: в4 = at+ B(g, r, z), v - v(%, r, z), w==
= ib(|, r, z), P = it + P(g, r, t), g = pt + 0,
где в, в, w - компоненты вектора скорости. в цилиндрической •системе
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 44 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed