Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Выражая из последнего уравнения системы (8.35) f - g и под-
ставляя в (8.42), получим уравнение для определения h:
2<xXti + 2X (аа - 1) h' У к\ -А2 + 2а (к! - h2) -
- (2h +у) V'k\ - h2= О. ' (8.43)
Особенно просто выглядит последнее уравнение при а = ±1.
Пусть а = 1, тогда (8.43) переходит в уравнение
2М' + 2 Ук\-Ь? (\f kl-h* - {h + у/2)) = 0.
Разделяя переменные, имеем
¦ • f -JU, = -Дп (сЯ), (8.44)
J Уfcf - Л*- (Л + у/2))
где с - произвольная постоянная.
Сделаем в уравнении (8.44) замену h = к, sin z. В результате получим
J fcgcosz - sin г - у/2 ~~ (сА).
Последний интеграл преобразуется следующим образом:
Г ~ ,<?(*-q/4)---------=_-1п(сЯ).
J - у/2 4- V2A. sin (2 - я/4)
При йтом
*1 (-*] I-
--|-+V2fc,sin| ;-т)
63
V
r' 2
/
arctg
у^.ЧУт-т;
(i>2").
. In -ft f z я 12 8 )+*-!
v"-t --Н я я.' 2 T 8i + 2Л.+ 1
(?<2*5),
-г4-*(?-1 + т)Н=^>
Для простоты ограничимся случаем ¦у = 0, тогда
' to|tg(-J-i)|_-ln(Cl).
Отсюда получим
или
. z = 2 arctg Л _ У 2 (К
[<йГЛ*]
+ Jt/4,
iVih. Yiks я+2 СК -С
aVaft, 2 К + С
График функции h/k. показан на рис., 5 (с = 1), где ? = Я Напряжения а"
оФ определяются из уравнения системы (8.35) квадратурой:
С Vtt - h? , >-------
or = f^-h- J -^----------d%, о, = аг - 2 |/ /с?- h\ (8.45)
Вдоль линии ге? = 1 + V2 (0^ф^2л) касательное напряжение
минимально. Когда с стремится к бесконечности, то Л./У2, при этом Or, о,
стремится к бесконечности в силу расходимости интеграла в (8.45).
Это решение можно интер-
1-&
-1-42 X -r+YIh+Yz ?
нале, образованном двумя стенками в форме логарифмиче-
Рис. 5.
64
ких спиралей. При этом можно подобрать такую форму канала, что
касательные напряжения на стенках будут равны. Тогда поле скоростей можно
восстановить из уравнений
о,, V %-h2
. = V-' W + u + ^-Q. •
5°. Частично инвариантные решения уравнений плоской теории пластичноети.
Большой интерес в механике представляет частично инвариантные решения,
впервые введенные Л. В. Овсянниковым. К этим решениям, в частности,
относятся кратные волны, давно и успешно используемые в различных
разделах механики сплош-
ных сред. •
В этом пункте будет показано, что известные соотношения Генки и уравнения
Гейрингер суть следствия нередуцируемости частично инвариантных решений к
инвариантным.
Систему (8.1)-(8.2) известной подстановкой Леви
. Оа - а - ft, sin 20, о" .= о + ft, gin 20j т = ft, cos 20. приводи^ к
виду - 7
% - 2к* (cos 20 -g + sin 201) = О, до / . 00 00 оо \ л
{Ъ-Щ
-Si ~2к* (,8Ш 20 и " cos 20 j = °-
Уравнение наименьшего инвариантного многообразия [52], необходимого для
поиска частично инвариантных решений, ранга р - 1 й. дефекта б = 1, может
быть взято в виде '
о = о(0, х, у). (8.47)
Подставляя (8.47) в (8.46), получаем'
36 . о, . 30 да
. .•(o;-2fecoe26)^- + 2fe8in2e:g--^f
,-2ft. sin 20 -g + (ое- 2 ft. cos 20)|| = .
Для нередуцируемых решений [52] должно выполняться условие^ (авУ - 4ft|
(cos2 26 + sin* 20) =0. ч Интегрируя это уравнение, получйм v
o = ±2ft,0 + c (с = const). (8.48)
При условии (8.48) уравнение (8.46) сводится к одному урав-. нению
2ft. (± 1 - cos 20) ~ + 2ft. sin 20 - 0.
Первые интегралы этого уравнения равны
f-we, -§_-ctge.' ; (8.49)
Б. Д. Авдия,'В. О. Бытев, С. И. Сенатов . 65
Соотношение (8.48) есть известный интеграл Генки, а (8.49; сут-уравнения
линий скольжения.. Следовательно, любое нередуци-руемое инвариантное
решение системы (8.46) ранга р = 1 и дефекта 6 = 1 определяется из
известных соотношений. Обратимся теперь к уравнениям, определяющим поле
скоростей. С учетом соотношений Леви уравнения .(8.3)-(8.4) примут вид
duldx -dv/ду . on &и ¦ &и п /о сл\
'duTdy + dvidx =tg'20. lF+aF = 0- (8-50)
Для отыскания возможных частично инвариантных решений ранга р = 1
и дефекта 6 = 1 возьмем уравнение наименьшего инва-
риантного многообразия в виде
и = и{х, у, v). (8.51)
Подставим (8.51) в уравнение (8.50). Получим
ди ди dv _ dv . "д / ди ди до ду\ ,,
дх dv дх ду . \ dv ду дх)'
ди ди dv dv _____
дх dv дх ду
Для нередуцируемых частично инвариантных решений' должно выполняться
условие
(-g)2tg20 + 2-g-tg20 = O. (8.52)
После решения квадратного уравнения (8.52) с учетом (8.51) получаем "
¦ ,
d".+ tg в dv = 0, du - ctg 0 = 0. (8.53)
При этом система (8.50) сводится к уравнениям
cts0-?+f=°- (8-54>
Первые интегралы уравнений (8.54) совпадают с (8.49), а уравнения (8.53)
суть известные соотношения Гейрингер.
Следовательно,- показано, что уравнения (8.52) служат для определения
частично инвариантных решений ранга р = 1 и дефекта 6 = 1. Такие решения
называются еще простыми волнами.
' § 9. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ
%
В этом параграфе, будем строить решения, инвариантные относительно
подгруппы Ха. Такие решения следует искать _ в виде
Hi " в(а?U2 - Вз - ш(а?,, 2J2), Р -- Р(Ж(, . (9.1)
Цодставляя соотношения (9.1) в систему уравнений (1.1)-(1.4), имеем
66
'su , asi* эр as lt asM dp
дхг ¦ dx^ dxj dx^ dx^ dx^
aSu , 8S"-
-ЩГ + ~d~ = °* S\\+ S(tm) + S(tm) - o,
8u-b& S"r-b?, Sa .-0,
