Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2STx - Я(и' - gu/) = (l/g)[(g2 -1)5, + |25е]. (7.18)
Подставим (7.18) в (7.16) и (7.17), получим
- 6*(1 + IY& - Is (1 +•?*) 5; + (1 + Е2) 5, = 0;
(1 + ETtf + 25е5,Еа (1 + Е2) + 5|Е4 = 4Е8 (kl - 5|). ( '
Последнее уравнение перепишем в виде
(1 + Е2) Sr + SeЕа = 2Е Yk*~sl- (7-20)
Выражая из уравнения (7.20) 5, и подставляя его в .(7.19), после
приведения подобных получим
2|2 Vkl- Sl + 2Е (1 + Е2) - 0.
ч
53
Отсюда следует
аУ&, -?\ ш
V^si i+ir
Решая последнее уравнение, Подучим
• ' 5е = К*Г-Р2/<1 + Е2),
где с - произвольная постоянная.
Из уравнения (7.20) находим
р ' *J"IE . . |а -г~ (1 + 62)(r)/* 1 + 6а (r)'
Цусть с = к%, тогда
о h I г. ,г Е(2-?2)
6 * ViT?' d+6T2'
Отсюда и из уравнений (7.14) получаем
5г • W 2-?* . , (1+ ?)"'*
~ " 1 + S2' 62 \
где А - произвольная постоянная. Из уравнения неразрывности получаем
и; = ЗА г-1 (1 + t*f2- - In f I + VT+T21) + B.
Компоненты тенаора напряжений имеют вид <в ъ S (2 Еа) с j, ?
г ~ (1 + W ' в (1+ б2)^* '
. с '; q *. 6 -о ______________ь 2$2 -1
z~ *(i+62)(r)/2' rz_ *u+rr2.'
Это решение описывает пластическое течение прй~ продавлйвании материала
через коническую матрицу
h^z<H, rs?g0 z.
5°. В заключение параграфа .приведем решение, которое не является
инвариантным решением системы (7>1)-(7.2), но является инвариантным
решением более общей системы (1,1)-(1.4). Это решение, найденное Р.
Хиллом [901, ищется в виде
О, = ОДг), 0" = 0"(г), Ое=Ое(г), О, = о/г),
. u== u*(r) cos z, и> = u>*(r) sin z,
предполагая, что o" ==? 0. Тогда из условия несжимаемости м равенства Grz
= 0 имеем
^ + Т-+<"0,^1 + а^0.
54
1з этих уравнений получаем
и =-=-А/о (г) cos z, w = - /pXrJsinz, (7.21)
где А - положительная постоянная, h - функция Бесселя нулевого порядка,
определяемая так: ' -
xJl + j'0 + xJo=0; Г0 (0) = 1, (0) = 0.
Заметим, что w = 0, когда z =-= 0, и что м = 0, когда г=0, а
распределение и по поверхности представляет собой развитие выпу-чины.
Условие отг = 0 согласуется с требованием, чтобы цилиндрическая
поверхность была свободной от напряжений-Обозначая rj0{r)/j'0(г) = /(г),
• где /(г) меняется от -2 до бесконечности, в то время, когда г
изменяется от нуля до второго нуля функции /0> кз уравнении равновесия и
условия текучести имеем
ММ-2) M2/ + D
°е - Ог = "7====, Oz Or -/... ' з==,
Vi+f+f* Vi+/+/*
' *
Or - A, J :
f+2 dr
'iVi+t+f r
При. этом Я должно быть положительно:
. . Vi + / + /2<(Г)С08
3 к.г
->0. (7.22).
Если 2/ - длина цилиндра, то условие (7.22) требует, чтобы I < <я/2, а
<3,83 (приблизительно).
Распределение напряжения по концам цилиндра, необходимое для получения
этого пластического состояния,' таково:
" _ь ' 2/ + 1 С f+2 г !Vi+f+f ? VT+7+?
При этом напряжение az является сжимающим в центре, оно уменьшается
численно по направлению к краям, становясь растягивающим там*
§ 8. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
- 1°. Плоская задача считается наиболее изученной задачей теории
идеальной пластичности. -Изученность этой задачи означает, что большое
количество плоских задач может быть решено построением линий скольжения.'
С другой стороны, точных аналитических решений уравнений даже в плоском
случае не так много.
55
В этом параграфе дадим описание известных точных решенш. разбросанных в
,настоящее время по различным статьям и монографиям, причем описание
будет дано с единых позиций - с точки зрения группового анализа,
Система уравнений плоской задачи идеальной пластичности с условием
текучести Мйзеса имеет вид
tst + It=°'-ё + ж=0'. <8:1>
(ая-0")2 + 4т2 = 4А!, (8.2)
(ди dv\ / ди , dv\ . ч ди . dv п /?)
ж-аг)т = (1Г+^)(а*"0^ + ^ = о: (8'3)
где о". оу, т - компоненты тензора напряжений, и, v - координаты вектора
скорости деформации, к, - предел текучести при чистом сдвиге.
Из уравнений (8.1)-(8.3) видно,-что для плоской задачи
теории идеальной пластичности можно строить сначала поля на-
пряжений, а потом по ним восстанавливать поля скоростей, причем последние
восстанавливаются, как правило, неоднозначно.
Нетрудно показать, что система уравнений. (8.1)-(8.3) является
гиперболической, характеристики и соотношения на них общеизвестны,
поэтому сейчас мы касаться этих вопросов не будем, а далее будет
показано, что соотношения на характеристиках являются следствием
нередуцируемости частично инвариантных, решений к инвариантным. '
' '
Группа, допускаемая системой (8.1)-(8.3), порождается следующими
операторами:
v 8 I 8 V 8 V 8
~ x~di + У~Щ' Хз~~д?' W'
(8.4)
v 8 8 . 8 8 , о 8 . / , д
п д
хг = У-ш-хт + "!ы--"1Ги + 2rtox + (°у ~ **> Л -
V 8 , 8 Y . 8 . 8
ъ ~~ дах + дау' 6 - ди +V dv '
у' т _______.. _2_ у ¦ у__
... 7 ду У dv' 8 дц' (r) dv'
Поскольку удобно исследовать сначала систему в напряжениях, 'то
необходимо знать и группу, допускаемую системой
(8.1)-(8.2). Она порождается следующими, операторами [1001:
1 V- 8 ^ 8 V 8 V 8
1 ~ х~дх ^УЦу' Хв~"Ш' *~ду'
v 8 д . " д , . . д п д
Хя = У тх - * + 2т Щ' + -(а"-а") ж - 2т ^,
-у -±л.?. л*-д0х+доу
56
Ниже мы будем действовать следующим образом: сначала, пользуясь методами
