Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
*
Ф = axt + f(x2),
~ тогда для определения функции f(x2) получим уравнение d ( Г " df (*а)
\vi+a? + p) ^ 1
Его решение имеет вид
/ = - 1~|~pCt Vi - (2сх2 + са)2 + с3, (5.5)
где с2, сз - произвольные постоянные.
6°. На подгруппе аХ, + Х4 решение ищем в виде
Ф = аб + /(г), (§.6)
где гб - полярная система координат. В этой системе координат
44
уравнение (5.4) запишется следующим образом:
=} = 2с,
(5.7)
_0_
дг
I ГЧ \ . д ( Я>е \ = 9у,
[Vr*+гу*+Ф'§J 30 V+-2ф'?+ф'§; '
# дф # дю фг = "aT " фе - лй"-
0Г ' 00
Подставляя (5.6) .в уравнение (5.7), после несложных преобразований
получим Дифференциальное уравнение
гГ . К /с о\
- -чт + -, - (5.8)
Vr 2+r*f'2 + a2
где Я - произвольная постоянная.
Рассмотрим несколько случаев.
Если с = а = О, то получаем известное решение
/ == Arcch г/К, ' (5.9)
которому соответствует минимальная поверхность - катеноид. Это
единственная минимальная поверхность вращения, она получается вращением
цепной линии вокруг оси Ох3.
Если с = 0, аФО, то получаем новую минимальную поверхность
f = Kln(V^T5?+ + ниш
(5.10)
Если с ^ 0, то решение уравнения- (5.8) получаем квадратурой
/= ( + + (5.11)
/ J Г VГ2 г-(сг2 + к)2 ¦ V
7°. Решение, инвариантное относительно подгруппы Х4 + аХв, следует искать
в виде
ф = г/(1п г + аб) = г/(|), | = In г + аб.
В этом случае с = 0 и приходим, к достаточно сложному обыкновенному
дифференциальному уравнению второго порядка
d j / + (l + а2) /' • \
* \ Vi+(/+я2+"2/'а/
, f+r 0.
Vl + (f + rf + а?/'2
8°. Инвариантное решение на подгруппе Хв следует искать в виде (с == 0)
Ф = г/(0). (5.12)
После подстановки (5.12) в уравнение (5.7) получим
% • : / + /" =0. (5.13)
Отсюда / = A cos 6 + В sin 0.
45
9°. Еще одно решение уравнения (5А> удается построить, если искать его в
виде '(при с - 0)
Разделяя в ней переменные, получим известное решение <р = =г In (cos
Xj/cos х2), которому соответствует минимальная поверхность - "поверхность
Шерка"..
Замечание. Описанными классами решений, конечно, не исчерпывается
множество минимальных поверхностей, а тем более поверхностей с постоянной
средней кривизной. Известно, что каждой аналитической функции
соответствует некоторая минимальная поверхность, которую можно
восстановить по определенному правилу [50]. К сожалению, большинство
минимальных поверхностей не задано в виде и = /(ж, у), а задается либо
описательно, например: "поверхность Эннепера", либо параметрически [50,
58]. Все это затрудняет, но не исключает возможность использования этих
поверхностей 'в теории идеальной пластичности.
10°. Теперь, пользуясь результатами решения уравнения (5.4), применим
полученные решения к теории пластичности.
Если <р выражается формулой '(5.5), то это решение есть частный случай
решения Ивлева.
Пусть решение уравнения (5.4) выражается формулой (5.9). Тогда искомое
решение уравнении пластичности запишется так;
где r0z- цилиндрическая система координат. При этом компоненты тензора
напряжений равны
/
Ф = /(ж,) + g(x2).
В результате приходим к уравнению
Г(1 + ?'*) + ?"(1 + Г) = 0.
и = ar, v == 0, w = - 2az + Arcch-- V12а, (5.14>
От - С*, Ое - Сг,
Z
н
Из формул (5.14), (5.15) следует, что построенное решение-определено в
области г> к (к > > 0). При этом Oz(k) - clf Отг(.к) =
= к, если г-*¦'">, то о,* стремится
Рис. 4.
- монотонно к нулю, а Я - к к/16а-Если в формулах (5.15) положить с, = 0,
то^решение можно использовать для описания пластическо-
го течения толстой трубы, которая подвергнута действию' касательных.
напряжений т" на внутренней и внешней поверхности, а по торцам задано
напряжение, распределенное по закону с*=- ЗаЯ (рис. 4).
11°. Пусть решение уравнения (5.4) выражается формулой
(5.10), тогда поле скоростей имеет вид
и - аг, v = 0, и? = - 2az +У12аСа8+<р(г)),
где
<р (г) = Ип(г2 + а2 - /г2 -A2) + ^ arcsin *- .
Компоненты тензора напряжений запишутся так:
о, = Ci,' Ое = clt о* = -ЗаЯ + ci, о,е = 0, 2ое* = У 12ааг~\
ЯЛ l/l2a -.А г2 + а2
г*.- - Утг^г-'
, =________________.кг Уг2 - А2______________________________
Уба У (г2 + а2/2) (г2 - А2) + (А2/2) (г2 + а2) '
Найденное решение (г>к) можно интерпретировать точно так же, как и в
предыдущем пункте. Здесь с"Ш =к, о" стремится к нулю, когда г-*- °°, ЯШ =
0, Я стремится к &/V6a, когда г стремится к бесконечности.
12°. Рассмотрим решение (5.11) для уравнения (5.4). В этом случае поле
скоростей определится формулами
и =ar, v - 0, w - - 2az + У12а (2а+ f ----- а-
V J г /г2-(Сг2 + А)2 )
Компоненты тензора напряжений при этом равцы
о, г 2c0z *1* Ci, Oo - 2c0z I Ci, о, о, - ЗЯ,
,- (5Л6)
o,e - 0, 2овх = ЯУ 12aar~1,
2о" - /12"1 К+"1 ^М8',
, Аг / ^_(СГ2 + Л)2 у/а
А 1/3* ^(2г2 + а2) (г2 - (сг2 + А)2) + (сг2 + А)2 (г2 + а2) ) *
Ив соотношений (5.16) следует, что решение существует, для 0<-г .У~1 -
2сА- Vl - 4сА ^ У1 - 2cA+Vl - 4сА ^
Это неравенство выполщяется при некоторых значениях параметров с, к.
Нетрудно видеть, что тв* и Я-равны нулю .при г - г*, г*, а компонента х"
