Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 2
(9.2)
л-S nj,! \t du\2 (dv\2 Ifdu dv\a I [ ди>\* 1 / 5" \21
я -Нщ) +k) +Ащ~+ъ) +п-щ) +-фуг
Система (9.2) допускает группу непрерывных преобразований, порождаемую
операторами
V 9 v д v д . д , д . д
1 . дх^ 2 дх^ 8 ' Xz дх^ Х* дх^ ди dvr'
v _ г а " д____________^'__________а_ у _ а у _5_ у ?_
4 2 ди 1 dv' 6 _дР' 6 ди' 'г~ dv% 8 0u>*
' (9-3)
v (r) I a v д , д д
Ъ = х1дГ + х*дГ' X* = u-dU + v-dU + wtor-
X л
Оптимальная система одномерных подалгебр для алгебры Ли (9.3) имеет вид
¦ •
X, + аХ4 ± X. + рХ8, Х8 + аХ4 + р(Хв + Х10),
X* + ctX4 ± Х" Х,тх8 + pXs, Х3 + аХ9 + рХ10,
- Xe + ccXs + pXs, Х,±Х10, Х8 ± Х8, Хд + аХ10,
Х4+а(Хд+ Х,о), Х4±Хд, Х" Хд, Х10.
Здесь учтено* то, что X" Порождает центр алгебры Ли (9.3), а, . р -
произвольные постоянные, различным значениям а и Р соответствуют
неподобные подалгебры. Инвариантные рещения можно искать только на
подгруппах
Х4, Х4 + а(Х9 + Х,д), + аХ10, Х8 ± Х9, Xt ± Х,",
X. + аХд + рх9, Хз + аХ" + рХ10, Х3 ± X, + рХ",
Х3 + аХ4 ± Хд, Х4 + аХ4 ± X, + ?Х8, Хз + аХ4 + р(Х" + Х10).
Эти решения имеют вид
Х4 + аХ5: " = /(ж2), v = g(x2), w = h(.x2), Р =* axt + Р(ж2),
Х4 + а(Х" + Xi0) + рХ5 (а Ф 0): и = r/(0), v = аг In г + rg(0), и; = -
гМ0), Р = g(0) + (p/a) In г,
Х, + аХ10 + рХ5: и = г"/(0), i;=*=r"g(0), ы? =="г"Л(0), P = pinr + +
Р(0), '
67
Хх'± Хы + аХъ1 и Т f (**) e±Xl' v = 8 (**) в**1, W = ,
= А(жа)е±,С1, Р =0^ + P(ж2),'
Xв+"X8+[iXs+^Хз: в =*= (1/0) In ж,+ /(?), y=*=g(|), iy = ft(g) + + (а/р)
1пж,, Р = (-|/р) Inж4 + Р(|), | = ?*/%,
X8 + aX. + pXle + fX.: в~Н*"/(|), у = /*'"?(g), ty = /w"ft(g), Р = ==^в +
Я1)^ = ге-5в,
X, ± X, + рх" + в = /(|), в = g(|), и? = А(|) ± 0, • Р = *ув + + Р(|)Д =
ге-м,
Х8 + аХ* ± Х8.+ §XS: в = /(г), iy = g(r)±0, у = аг0 + й(г), Р = . =
р0 + Р(г), ¦
Хг + аХ4 ± Х" + РХ8 + уХ6: в = iTj + ахгхг + / (ж2), у =
\ = - (а/2).ж? + h (z2)> w = Ржг + g (ж2), Р = уж^Р (ж2),
Х3 + аХ* ± §(Х. + Х10) + уХ8: в=*=г/( |У, у = rlnr+rg(g), iy =
= гА(1>, Р-Т0 + Р(|), | = re-"e.
1°. Инвариантное решение на подгруппе Х2 + Х,0 из (9.3) следует искать в
виде
и = и (ж.) ег, v = v (afj) е*2,
¦ ¦ ' (9.4)
ш = 1У(ж1)е2, Р = Р(жх).
Подставляя соотношения (9.4) в систему уравнений (9.3), полу-
цяри
• ,,ем M^ = i? ^ = 0 И +А -о ¦ '
- дх^- дх^ дх^ ' ва!г ' 11 22 ' "
. * 5Й=Яв', <Sw = 0, 2Жз2 = Я(в + у'), 2S" = Kw', (9.5)
2523 = to, ft"3 = 2ft| [в'2 + у2 + 4 (" + v'f 4- 4 ^ + 4 ">*]¦
Из (9.5) имеем
St2~Ci, Si3 = Ci,
где с4, с2 - некоторые постоянные.
Если с,Ф0, с2Ф0, то система (9.5) сводится к обыкновенным
дифференциальным уравнениям
в' + v - 0, Я(в + у') = ct, %w' = ci,
которая после Исключения Я сводится к обыкновенному, нелинейному
дифференциальному уравнению третьего порядка.
Пусть Ci = 0, -тогда для определения в, у получим систему уравнений и + у
= 0, у' + в = 0, из которой следует
в = ое*-Нре"* у = - ае*+§е_*,' (9.6)
где ф, р - произвольные постоянные.
68 ' ' ' '
Для определения этих постоянных поставим следующую задачу. Пусть имеются
две жесткие' параллельные плиты, которые сближаются с постоянной
скоростью с вдоль оси Охи При этом плиты изготовлены так, что материал
выдавливается вдоль оси Ох2 без трения, а вдоль оси Ох,' с трением.
Этого, в частности, можно добиться изготовлением канавок, параллельных
оси Ох2. Расстояние между плитами 2 Л. Тогда для определения ", v имеем
следующую краевую задачу: .
в(Л) = -с, в(-Ь) = с.
Ее решение имеет вид
е sh х, е ch х *
и -----------, 17-=--Г-, - •
Sh А ' - sh А
Заметим, что аналогично можно рассмотреть задачу б сближении. плит, когда
их скорости различны.
Для определения w получаем уравнение
2kw' ^=с2 YA2 sh2** + w2, к* = к* - <г|, А = c/sh Л, (9.7)
которое кожно свести к уравнению Абеля [33].
Замечание. Если в соотношениях (9.6) положить Р = О, то уравнение (9.7)
примет вид
' 2k.iv' = с^сРе-1 + и'2)1/2, к2 = к% - с\,
ЗС* • *
которое заменой w = ае / (**) приводится к уравнению
2A(/+f)=caVTTf, " •' !
а последнее решается квадратурой. При этом
*1 + *- -ГДГ + --а,2 Ь (fi, + 2к- (С2 - 2k).F)t
где F = / + V1 + Z2, с - постоянная.
Это решение можно интерпретировать точно так же, как и предыдущее, только
скорости сближения плит, здесь различны.
2°. Запишем систему (9.2) в цилиндрической системе координат:
SSr 1 <>SrQ Sr - Sq др
Ищем инвариантное решение. системы (9.8) на подгруппе X" - ,+ Х10.
Решение имеет вид
и - и(г) ехр 0, y = y(r)exр0, w = u;(r).exp0, P - P(.r). (9.9) Подставляя
соотношения (9.9) в систему (9.8), имеем
asr , sr~se дР. asre , ^ге Л
Т- - -д-, - Т ,
дг г дг ' дг
9Srz S,
дг + г
dS" Sn ди и_ v_ о
+ - = 0, г + г U'
- 5e = + Sr 25гв - Я^- + r-J7 (т))
25ег=я|-? 2Srz = k~-f,
(9.10)
5? + Si + 2(S*e+,S*rz + S&) - 2Й|.
-Из уравнении (9.10) следует
Sre = c/r2, ?" = Cjs/r, (9.11)
где Ci, c2 - произвольные постоянные.
Полагая ct = 0, для определения и, v получаем уравнения
?+f + f-0. .+^(f)-0, (9.12)
Исключая из системы (9.12) функцию и, получаем уравнение
Эйлера
T*v"+rv'~ 2у = 0. (9.13)
