Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Том 2 - Аннин Б.Д.
Скачать (прямая ссылка):
t.
.Замечание. Решение вида (2.14) найдено в [11] при условии, что У1/А,а -
малый параметр. *
' 4°. Рассмотрим в плоском случае систему уравнений (0.3). Она имеет вид
+ Р,1 = $11,1 + ^12,2> ~gf + Р.2 =* <$22,2 + <^12,1> ^
<$U + <$22 + 2513 = 2к\, Vx,x + t>2,2 = 0,
<$11 = ^l,li <^22 = ^2Jj 2512 J= А (^1,2 v2,l)'
вз
Группа, допускаемая системой (2.15), порождается операторам^
у 0 у д л, 0 д
0=1Г' Т = щГ"х* ^Г"
+ ^*-Й-+ si: 0 = 1>2), (2.16)
г г
<7 ^ ^ 0 (r) о /л\ &
Z = xtt-x*W + vi67-v*d7' 5 = Ф(0ар.
а 1 2 1
Li = /* М + /i (0 -?:xif (t) W (по * не суммировать),
где /г, <р - произвольные функции из- класса С", 5 порождает центр
алгебры Ли (2.16).
Построим инвариантное решение на подгруппе N, его будем искать в виде
[781 х
u1 = ta(.Xi + 2f(x2)), v2 - - tax2, Р = Р(хи ж2), (2.17)
где а - произвольная постоянная, / - искомая функция от х2. Подставляя
(2.17) в уравнения (2.15), получаем
ахх + 2а/4- Р л = к"(--==='\ , ' (2.18)
\УЪЪ)*
- ах2 -j- Р'2 = ks /----==-" (2.19)
Из уравнений (2.18), (2.19) следует
1 _/¦_2 "ал . ____^
1А+/*
Р=~а(х1-ж?) + , rJL-? + с(t), (2.20)
где c(t) - произвольная функция от t.
Для определения функции / получаем уравнение 4
7at-k.(-j?=\ , (2.21)
интегрируя которое, имеем
= ± ^1"У + с)2, m = -f; (2.22)
Щ + с
где с - произвольная постоянная. С учетом (2.22) получаем следующие
выражения для компонент тензора напряжений:
<*22 = Т а - + с (*),
1 (2.23)
Оц = 2/ce (то/2 + с) + а(а^ - ж?) + с (*),
.а?
<Si2 = kgll 1 - (то/2 + с)2
84
Тзвестпо 1331, что уравнение (2.21) имеет единственное решение для
краевой задачи
/(-Л) = /Ш = 0, /(аг*) > 0, \x2\<h, . (2.24)
если т удовлетворяет неравенству
¦<.т<
й2 2й2' Т 8 W
УяТ(Э/4) ~
о г 1ЫА\
2995,
где Г(/) - гамма-функция.
Это решение расположено симметрично относительно оси /, максимальное
значение /, равное /+, удовлетворяет неравенству
f. / 2hm(.n - Tf)/+ < п2.
Решение задачи (2.21), (2.24) выписывается с помощью эллинти-ческйх
интегралов
_ [f /с) _^(ф,/,)]}, (2.25)
где ж2(0) = h, ф = arccos
Ут/
Е(<р, к), Р(Ф, к) -
-У1-с' 1/2
эллиптические интегралы первого и второго рода. В табл. 4 при-, ведена
зависимость между х2 и / при с = 0, /71 = 1, h = 0,6060.
Построенное решение можно интерпретировать следующим образом.
Пластическая полоса сжимается жесткими и шероховатыми плитами с силой
трения на плитах к" толщина полосы 2/г. При этом считается, что плиты
длиннее полосы и перекрывают ее концы. Из (2.17), (2.23) следует, что
вдоль оси Ох2 величины "2 = 0, St2,- 0. Вдоль контактных прямых х2 = ±h
выполняются условия 5i2 = ks, щ - ±aht. Следовательно, построенное
решение описывйет сжатие пластического слоя жесткими и шероховатыми
плитами, которые сближаются с постоянным ускорением и", при a - ujh.
Пластический' слой выдавливается в стороны и течет от середины к краям;
на поверхности контакта при этом возникают большие касательные
напряжения. Как и в случае решения Прандтля, они достигают предела
текучести.
Таблица 4
*1 1 х2 / /
0,6060 0,6044 0;6031 0,5955 0 0,1 0,2 0,3 0,5835 0,5496 0,5310 0,4885
0,4 0,5 0,6 0,7 0,4089 0,2975 0 0,8 0,9 1,0
85
Условиям на свободном конце удовлетворим, как и в случа* решения
Прандтля, в смысле Сен-Венана: -
ft
J ondx2 = 0.
-л
Предельное напряжение сжатия вычисляем по формуле
2iP = J-Cgg |j/ hdXyi
о
где 21 - длина пластического слоя.
Если в формуле (2.22)' положить с=- 1, то решение уравнения (2.21)
выписывается в элементарных функциях:
+ с.
-*-Г-
Ут±У2
- In
1/2+ Vz - mf
Уmf
У2 - m/2 j.
(2.26)
Здесь ci - произвольная постоянная. Зависимость между х2 и / изображена
на рис. 8 (х* я*- 0, 2664). Как следует из рис. 9, на котором изображена
зависимость S,2 = т от х2, решение (2.26) можно использовать для описания
следующих пластических течейий.
А. Решение, соответствующее ветви II на рис. 9, описывает, .в частности,
пластическое течение материала, сжимаемого двумя
г Рис. 9.
1 к
* W. 1 Vs •iA I
' *2
Рис. 8.
жесткими плитами. Одна из плит движется с постоянным ускорением и
является шероховатой, а вторая (гладкая) неподвижно расположена вдоль оси
Ох
Б. Решение, соответствующее ветви I на рис. 9, можно использовать для
описания сжатия пластического полупространства У > У* жесткой и
шероховатой плитой, которая движется с постоянным ускорением. При этом.
значение Si2 стремится к нулю при хг, стремя щсмря к бесконечности.
§ 3. ОБОБЩЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРАНДТЛЯ
В этом параграфе рассмотрим инвариантное решение, построенное на
подгруппе <Lt, Ь2У,
Pi = fi (t) Щ + fi (t) - Zi/i (t) gpt
где fi - некоторые фиксированные функции. Тогда инвариантно*: 86 . -
решение следует искать в виде [2]
(3.1)
Д2 - (3/2)[(fti - Да)2 "Ь (fli - Да)2*)" (Дг flj) ), Да,=я Щ
Здесь аи а2, 6Ь Ь2, с, тп, Аг - функции только от t; Аи Аг - функ-• ции
от х3 и t, которые удовлетворяют системе t
Ai + а^А^ 4- (а2х3 + с) А* (AjA) - 6$ - 0 (i - 1, 2). (3.2)
(производная по времени обозначена, точкой,. а по ж*- штрихом). Это
