Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Обобщенная сила определяется соотношением: оЛ = Фо(/, где оЛ—работа непотенциальных сил над системой при малом, виртуальном (в смысле теоретической механики) изменении координаты на Вq. Например, работа, совершаемая на сопротивлении R электрической системы при прохождении через него заряда од, равна (J^-bq, где U^=Rq— напряжение на сопротивлении; таким образом, в этом случае оЛ =—Rqbq и Ф = — Rq. Точно так же для сил вязкого, линейного трения Ф = — bq {b> 0).
2) Вообще говоря, W0 зависит от начальных условий.
фу^о,
(3.2) 170
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. III
движения в диссипативных системах, очевидно, невозможны, так как энергия системы при движении всегда убывает.
В качестве примера диссипативной системы рассмотрим обычный маятник при больших отклонениях и при наличии силы трения. Для простоты будем считать, что сила трения пропорциональна скорости, т. е. положим Ф =— bq и 0. Лагранжева функция L для маятника имеет вид
? = + mSl(cos ср — 1),
и уравнение Лагранжа напишется так:
I<? -(- bf -(- mgl sin ср = 0. (3.4)
Картина на развертке фазового цилиндра (фазовой поверхностью, конечно, опять является цилиндр) определяется уравнением
_bv> + mgl sin У .g
d'f hа ' \ • )
где со = —. Особыми точками этого уравнения, очевидно, будут:
ср = 0, со = 0 и Cp = H^it1 со = 0. Устойчивому состоянию равновесия соответствует точка (0, 0), которая является либо устойчивым фокусом (при Ьг AImgl), либо устойчивым узлом (при AImgl)', неустойчивому состоянию равновесия соответствует седло 0).
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно разложить sin ср в степенные ряды вблизи значений ср = 0 и cp = ±it, ограничиться линейными членами и исследовать полученные линеаризованные уравнения так, как это мы делали в гл. I.
Касательные к интегральным кривым вертикальны на оси ср (со = 0)
mgl . dm
и горизонтальны на кривой со=--— sin ср, т. е. изоклина = 0
имеет вид синусоиды, и чем меньше Ь, тем больше амплитуда этой синусоиды. В общем для двух рассматриваемых случаев Ьг 4Imgl и 4Imgl получаются фазовые портреты, изображенные соответственно на рис. 110 и 111. Склеив развертку цилиндра по линии Cp = ^tit, мы получим фазовый цилиндр, разбитый на фазовые траектории.
Глядя на фазовые портреты маятника (рис. 110 и 111), легко убедиться в том, что периодических движений в системе нет и что почти при всех начальных условиях (за исключением условий, соответствующих состояниям равновесия и устойчивым усам седел) система стремится к устойчивому состоянию равновесия.
Если условие (3.2) не соблюдается, то система может уже не быть диссипативной. В такой системе возможно возрастание энергии за счет
«сил трения», так как при Фу]>0 с такими случаями ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
171
мы познакомились на примерах лампового генератора и маятника Фроуда.
Если условие (3.2) не соблюдается, то мы уже не можем утверждать, что периодические движения невозможны. Пусть, например,
мы имеем «силу трения», пропорциональную квадрату скорости, т. е. Ф= — bqа, где Ь^> 0. Очевидно, что такая «сила трения» 172 НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. III
препятствует движению при и помогает движению при q<^ 0.
В этом случае уравнение баланса энергии имеет вид
dW , . .3 ~
— ^bqt = 0.
Легко можно показать, исследуя это уравнение, что для обычных механических и электрических задач «сила трения» вида Ф =— bq2 не нарушает консервативности системы и что в соответствующих системах возможны континуумы периодических движений, с амплитудами, зависящими от начальных условий 1J.
В качестве примера рассмотрим картину на фазовой плоскости для осциллятора, описываемого уравнением2)
2 Jtr —{— Jcr"2 —Jtr = 0. (3.6)
Полагая х=у и исключая время, получим уравнение для интегральных кривых на фазовой плоскости х,у:
dy_ X + у*
dx 2у
(3.7)
или 2Iy^L = — jc—и d^x ) -|-у* = — лег. Интегрируя последнее, получим:
у* = Се~*-\- 1-х
или
(у* + х—1)ех = С, (3.8)
где С—постоянная интегрирования (мы оставили коэффициент 2 при лг в уравнении движения только для того, чтобы это уравнение интегральных кривых имело наиболее простой вид).
') Настоящая сила трения, пропорциональная квадрату скорости, всегда направлена против движения; поэтому она аналитически записывается в виде
Ф = — bq2 sgn q, где b > 0 и, как обычно, под sgn q понимается функция
!+ 1 при q > 0, 0 при q = 0, — 1 при q < 0.
При таком законе трения условие диссипативности (3.2), конечно, выполняется. s) К этому уравнению приводится уравнение
путем замены переменных ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
173
Семейство интегральных кривых (3.8) изображено на рис. 112. Значению C =— 1 соответствует изолированная точка (0, 0) — особая точка уравнения (3.7); при —1 получаются замкнутые кривые,
охватывающие начало координат и вложенные друг в друга; при C^O кривые (3.8) уходят в бесконечность (значению C = 0 соответствует парабола _у2 = 1—х, которая является сепаратрисой, т. е. кривой, разделяющей замкнутые кривые и кривые, уходящие в бесконечность)1).
