Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
р = a cos (t <р), q = a sin (t -f- <р).
Нетрудно сообразить, что с течением времени каждый радиус-вектор
г = і a sin {t <р) j a cos (t -f- <р),
характеризующий состояние системы, повернется на один и тот же угол. Любая фигура просто повернется, не изменяя своей формы и, следовательно, площади (рис. 105).
Пример II. Движение под действием постоянной силы:
dp
It = -?'
dg dt
= P.
gt2
p = Po—gt, я = Яо + Ро*—\-
Если мы в момент t = 0 выделим на фазовой плоскости квадрат между точками: 1) qо, /V, 2) (7о4-а)> Pо". 3) ?о> Рис- 105'
{Po 4" 4) {Яо + а), (ръ 4- а), то с
течением времени квадрат будет все больше и больше перекашиваться (рис. 106), но площадь фигуры будет оставаться постоянной, 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
так как стороны, параллельные оси q, г. е. соединяющие точки с равной начальной скоростью /?„, будут перемещаться параллельно
самим себе, и вместе с тем расстояние между ними и их длина будут оставаться неизменными и равными а. Вместо квадрата со стороной а мы получим параллелограмм с основанием а и высотой а, т. е. равновеликий квадрату.
Если мы будем пользоваться фазовой плоскостью не с переменными q и р, а с переменными q и д0 д0+а q, т. е. если мы будем исходить
Рис. 106. не из уравнений Гамильтона, а из
уравнений Лагранжа, то теорема Лиувилля уже не будет иметь места. Однако, вообще говоря, у нас будет существовать интегральный инвариант. Действительно,
dp dp
dq dq
dq dq
dq dq
dqdq=JJ d^dqdq.
a»
Таким образом, в переменных q, q фазовая плотность уже не по-d2L
стоянна, а равна ^ .2. Поэтому, для того чтобы уравнения Лагранжа
д21
допускали интегральный инвариант, достаточно, чтобы ^ было конечно и постоянно по знаку, например положительно. В реальных случаях это условие обычно выполняется.
Интегральный инвариант имеют и более общие уравнения консервативных систем — уравнения Пфаффа (2.61), а именно: интегральный инвариант с фазовой плотностью Q (и, v):
I-.
: J J Q (и, в) du dv,
O«)
так как условие того, чтобы это выражение было интегральным инвариантом уравнений (2.61),
du
Ai^l JL Il du (дг/) 1 dv 1
c^l du J
= 0
выполняется тождественно в силу перестановочности дифференцирования. Нетрудно видеть, что выражение Q- Ф (F), где Ф—любая функция, a F—¦ левая часть интеграла консервативной системы (2.59), может быть использовано для образования интегрального инварианта в качестве фазовой плотности. Действительно, Ф (F) является кон- § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
161
стантой движения; поэтому совершенно очевидно, что если J ^ Qdttdv —
интегральный инвариант, то и J ^ Q Ф (F) du dv будет также интегральным инвариантом. Можно показать, что это общий вид интегрального инварианта. Другими словами, отношение двух различных выражений для фазовых плотностей интегральных инвариантов, приравненное постоянной величине, всегда является интегралом системы.
Возвратимся снова к наглядной интерпретации изображающих точек как «частиц двумерной жидкости», а их движения — как стационарного течения такой «жидкости» (без источников и стоков). Как уже указывалось в начале настоящего пункта, такая интерпретация возможна только при существовании интегрального инварианта; его фазовая плотность р (дг, у) может быть взята в качестве «плотности жидкости», а сам интегральный инвариант будет выражать закон сохранения «массы жидкости».
Рассмотрим поток «жидкости», заключенный между двумя достаточно близкими фазовыми траекториями, — «полоску» тока (рис. 107), которая аналогична трубке тока в гидродинамике. В силу закона сохранения рис Ю7_
«массы жидкости» поток «жидкости» через
одно сечение этой полоски (например, через отрезок I1) должен равняться потоку через любое другое сечение той же полоски тока (например, через отрезок /2). Если обозначить через w1 и wt фазовые скорости на этих отрезках1), т. е. скорости течения «жидкости» в этих сечениях полоски тока, то, очевидно2),
Pi — Pa
где P1 И P2 — плотности «жидкости» в первом и втором сечениях полоски тока.
Таким образом, если мы знаем фазовые траектории и фазовую плотность, мы можем определить относительное распределение фазовых
') Сечения рассматриваемой «полоски тока» должны быть настолько малыми, чтобы в каждом сечении фазовые скорости можно было считать одинаковыми.
2) Нетрудно видеть, что поток жидкости через любой замкнутый контур равен нулю. Действительно, поток жидкости внутрь замкнутого контура Г, как известно, определяется интегралом
(fpC? dx—i = ? fQdx-fPdy= j j IjL (p/>)+JjLfr Q) ^dxdy
'}Г Г S
и равен нулю в силу условия (2.70) (последний интеграл получается из предыдущего применением формулы Грина; S обозначает двумерную область, лежащую внутри контура Г).
6 TeojJHH колебании 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
скоростей вдоль траекторий, т. е., иначе говоря, можем определить фазовую скорость в любой точке данной фазовой траектории, если она известна для какой-либо одной точки этой траектории.
