Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(рис. 97), вследствие чего емкость конденсатора с сегнетодиэлек-триком оказывается зависящей от заряда или от напряжения. Мы назо-
Рис. 95.
вем емкостью С (q) такого конденсатора отношение заряда на обкладках конденсатора к разности потенциалов, вызванной этим зарядом.
__Зависимость таким образом определенной
§ емкости конденсатора С (q) от величины
Сегнетова заряда на его обкладках примерно изображена на рис. 98.
Пренебрегая омическим сопротивлением Рис. 96. и потерями на гистерезис, мы получим, вслед-
ствие того, что С есть функция q, нелинейную консервативную систему. Для рассматриваемого контура мы можем по закону Кирхгофа написатьJ):
1°її + сЬ=°- (2-54)
Заметим, что емкость можно было бы определить и иначе, например как C1 (q) = ^ , где и—разность потенциалов. В этом случае дифференциальное
уравнение контура, содержащего конденсатор с сегнетодизлектриком, приняло бы другой вид:
(2.54а)
Безразлично, каким из уравнений, (2.54) или (2.54а), пользоваться, так как оба они дают одну и ту же зависимость q от q. По-видимому, для неавтономной
системы второе определение C1 = ™ является более целесообразным. § 6]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
147
Это уравнение также легко может быть приведено к виду Лагранжа. Введем функцию состояния системы
В таком случае
(2.55)
dL
dq
dL ___q_
dq~~ С
и уравнение (2.55) может быть записано в форме Лагранжа:
dt [dq ) dq Интеграл энергии напишется так:
(2.56)
Легко видеть, что и в этом случае h есть полная энергия системы,
1С
п E
Рис. 97.
Рис. 98.
так как энергия заряда конденсатора равна работе тока, заряжающего конденсатор:
V
(2.57)
Но, кроме того, в этом случае, в отличие от предыдущего, лагранжева функция L = T—V, т. е. равняется разности между магнитной и электростатической энергиями системы. Уравнение (2.55) подстановкой p = ^ = L0q легко может быть приведено к форме Гамильтона
подобно тому, как это было сделано в предыдущем примере.
Уравнение (2.56) есть уравнение семейства интегральных кривых
на фазовой плоскости q, q. Так как функция имеет мини-
мум при q = 0, то <7 = 0, <7 = 0 есть особая точка типа центра, соответствующая устойчивому состоянию равновесия. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
Для того чтобы точнее определить вид интегральных кривых, мы должны гак или иначе прецизировать вид функции C(q). В общем случае, если помимо переменного напряжения на обкладках конденсатора существует некоторое постоянное напряжение (по аналогии с подмагничиванием мы будем это постоянное напряжение называть «подэлектризацией»), то емкость конденсатора будет уже изменяться не одинаково в обе стороны от точки <7 = 0. Учитывая это обстоя-
тельство, мы можем зависимость между С и q в некоторой ограниченной области значений q аппроксимировать при помощи следующего выражения:
C(q) =-^-
1 +c,q+ C2Q2
(график этой функции C(q) приведен на рис. 99). Подставляя выражение для С(<7) в выражение (2.56), получим:
L0q* . q* C1?3 , C,q>
2 Cq ?Со 2СО
: const. (2.58)
Это уравнение определяет семейство замкнутых кривых, вложенных одна в другую (рис. 100). Несимметричность этих кривых относительно оси q обусловлена наличием члена $4?- в уравнении семейства.
ZG0
Но этот член появился в результате подэлектризации. При отсутствии подэлектризации C(q)=C(—q) и несимметричность интегральных кривых исчезает. Мы получим семейство кривых типа эллипсов, причем только те из этих кривых будут заметно отличаться от эллипсов, для которых при больших q член ql играет заметную роль.
§ 7. Общие свойства консервативных систем
С точки зрения теории колебаний нас в консервативных системах с одной степенью свободы интересуют в первую очередь стационарные состояния — именно состояния равновесия и периодические движения. Все остальные движения, как мы убедились при рассмотрении про- § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 149
стейших консервативных систем, либо уходят в бесконечность, либо стремятся к состояниям равновесия типа седла (лимитационные движения). Мы уже рассмотрели подробно состояния равновесия в простейших консервативных системах. Теперь мы должны выяснить подробнее характер периодических движений, возможных в простейших консервативных системах.
1. Периодические движения и их устойчивость. Прежде всего периодические движения в консервативных системах отличаются той особенностью, что они никогда не встречаются изолированно. Если для k = h0 на фазовой плоскости мы имели замкнутую траекторию, т. е. периодическое движение, то, как мы видели, эта замкнутая траектория непременно окружена соседними замкнутыми траекториями, получающимися при близких h. Периодические траектории встречаются континуумами и заполняют целые области фазовой плоскости, причем одна замкнутая траектория охватывает другую. Физически это значит, что если возможно одно периодическое движение, то возможно бесконечное множество их, причем максимальные размахи и максимальные значения скоростей могут в зависимости от начальных условий непрерывно изменяться в известных конечных или бесконечных пределах.
