Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
r
I 1X. --/От — у' _____ .-'К
I ------—!
I ! \ '1 11 I і
11 !я< Ii / ї
І і I і І і I І !|о 11 -і—^ 11 v. і ! '
iSJ — л-XjX J
'/і { ~~JU- 4- \ і \ м 1N1 \ І -Ь + +- -f I / і / / ^_____lK
IVi \ —г V-- -4N I * •jy /1 / ^ /t"/"" і Jc I "г
Рис. 108.
теперь к исследованию вида интегральных кривых. Для этого перепишем уравнение (2.73) в следующем виде:
NT %uNl = CNl1e- uN*
и построим кривые
K=WrV2*1; X = Nl1e-nN>> откуда искомая траектория определяется соотношением
У =CX.
Возьмем две взаимноперпендикулярные прямые и отложим на них оси OX, ON1, OY, OA7i, как это показано на рис. 108. Во втором § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 167
и четвертом квадранте нанесем соответственно кривые XnY. Форму этих кривых легко определить из следующей таблицы:
Nt 0 *, = їі + со Ns 0 ь е» K3= — + со
Ь Ъ
dY — 0 + dX 0
dNi dNs +
Y -f- оо\ min X+ со X 0 У max \ 0
так как
В первом квадранте проведем прямую Y=OX. Возьмем какую-нибудь точку на прямой OK, например D. Проведем через нее две прямые -одну параллельную оси OY, другую параллельную оси ОХ. Пусть
Рис. 109.
Е, F, G, H будут точки пересечения этих прямых с кривыми XnY; из точек E п F проведем две прямые, параллельные оси ОХ, и через точки HnG — две прямые, параллельные оси О Y. Точки пересечения этих прямых и принадлежат интегральной кривой Y=CX. Геометрическое место таких точек, когда точка D скользит по прямой OK, и есть искомая интегральная кривая. Нетрудно видеть, что интегральные кривые все замкнуты, кроме одной, соответствующей координатным осям. Состояние равновесия — особая точка типа центра с координатами
Итак, мы видим, что в исследуемом случае изменение численности обоих видов происходит по периодическому закону. На рис. 109 приведены зависимости N1 и Ni от времени. ГЛАВА III
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
Мы рассмотрели два класса систем: во-первых, системы неконсервативные, но линейные, и убедились в том, что для этого класса систем периодические движения вообще невозможны; во-вторых, мы рассмотрели системы консервативные (линейные и нелинейные) и убедились, что в этих системах возможны периодические движения, но что таких движений всегда возможно бесчисленное множество и амплитуда их целиком определяется начальными условиями. Между тем, как уже неоднократно указывалось, нас интересуют главным образом такие периодические движения, амплитуда которых определяется свойствами самой системы. Затем, нас в первую очередь интересуют такие системы, характер движений в которых не изменяется существенно при малых, достаточно общих изменениях самих систем; консервативные системы, как только что было указано, не удовлетворяют и этому требованию. Мы увидим дальше, что лишь неконсервативные нелинейные системы являются адэкватными математическими моделями интересующих нас реальных физических систем, т. е. такими моделями, которые позволяют получать ответы на вопросы, интересующие физику колебаний. В настоящей главе мы познакомимся на примерах с двумя основными типами таких нелинейных и неконсервативных систем — с системами диссипативными и с системами автоколебательными.
Поскольку рассматриваемый нами случай отличается от рассмотренного ранее случая консервативной системы наличием сил, не имеющих потенциала, мы можем, вводя «обобщенные силы», написать для этих систем уравнение Лагранжа в таком виде:
§ 1. Диссипативные системы
(3.1) ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
169
где обобщенная сила Ф есть некоторая функция q и qx). В частном случае «линейного трения» или омического сопротивления Ф есть линейная функция скорости: Ф= — bq, и уравнение Лагранжа принимает вид
К такому уравнению приводит любая из рассмотренных нами нелинейных систем при наличии силы трения, пропорциональной скорости, например контур с железом при наличии омического сопротивления. К общему же виду, т. е. к уравнению (3.1), нас приведет рассмотрение систем, в которых трение каким-либо более сложным образом зависит от скорости.
Если неконсервативные силы имеют характер сил трения, то они должны препятствовать движению, т. е. должны быть всегда направлены в сторону, противоположную скорости. Следовательно, в случае наличия сил трения всегда соблюдается условие
причем равенство нулю никогда не может удовлетворяться тождественно за исключением случая, когда q = 0, т. е. когда система находится в состоянии покоя. Умножив все члены уравнения (3.1) на q, мы получаем уравнение баланса энергии:
где W=q^— L (W= const является интегралом уравнения (3.1)
при ф = 0). Для обычных систем W есть полная энергия, и, как это следует из уравнения (3.3) и условия (3.2), эта энергия при движении системы (q ф 0) всегда убывает. Предположим, что энергия не может стремиться к —оо. Тогда мы можем утверждать, что с течением времени она стремится к некоторому постоянному значению W0, а Фq и, следовательно, q — к нулю, т. е. система стремится к состоянию покоя (к состоянию равновесия)2). Такие системы мы будем называть диссипативными. В диссипативной системе единственными стационарными состояниями являются состояния равновесия, к которым система приближается при любых начальных условиях. Периодические
