Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Уравнения движения электрических и электромеханических систем, записанные в виде уравнений Лагранжа второго рода, часто называют уравнениями Лагранжа — Максвелла. § 6] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
143
Уравнения Гамильтона инвариантны не только по отношению к преобразованиям переменных, о которых уже была речь, но и по отношению к так называемым каноническим преобразованиям, которые играют «важную роль при изучении консервативных систем со многими степенями свободы.
Заметим, что «интеграл энергии» для уравнений Гамильтона может быть написан сразу:
Н(р, q) = h = const.
(2.44)
Перейдем теперь к рассмотрению двух примеров, которые пояснят применение уравнений Лагранжа и Гамильтона.
I. Колебательный контур с железом. В качестве первого примера нелинейной консервативной системы мы рассмотрим электрический колебательный контур, в который входит катушка самоиндукции, содержащая железный сердечник [197] (рис. 93). Для того чтобы можно было рассматривать систему как консервативную, мы должны пренебречь сопротивлением контура и потерями на гистерезис. Если пренебречь рассеянием в катушке, т. е. считать, что весь магнитный поток Ф проходит СКВОЗЬ все w витков катушки самоиндукции, то на основании закона Кирхгофа мы получим для силы тока і в контуре следующее уравнение:
1,
Рис.93.
M'
dt-
¦ w
.гіф dt
= 0. (2.45)
Рис. 94.
обкладках конденсатора, и
причем Ф есть некоторая функция от і, нелинейная вследствие наличия железного сердечника в катушке. Примерный вид функции Ф (/) для железного сердечника приведен на рис. 94.
Уравнение (2.45) легко может быть приведено к форме Лагранжа. Для этого заменим I через q, где q — заряд на введем обозначение
L = L (q, q) = w j Ф(q)dq —
Г. 2 C1
(2.46)
В таком случае
dl.
дд
L лч / ¦ ч dL а
dq С'
и уравнение (2.45) принимает форму Лагранжа:
dL
d (д?-dt \ dqj '
dq
= О. 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
Как мы уже указывали, для уравнения Лагранжа можно написать «интеграл энергии»:
.dL , . qTq-h^h'
В рассматриваемом случае этот интеграл энергии имеет вид
h = w<S>{q) q — w^ Ф (q)dq + ^ = const. (2.47)
Здесь h действительно выражает полную энергию системы. В самом
,г <72
деле, электростатическая энергия в конденсаторе есть магнит-
ная же энергия в катушке самоиндукции определится как работа против э.д.с. самоиндукции, т. е. выразится так:
T=w ^-?^ qdt = w^ q йФ (q) (2.48)
или в результате интегрирования по частям:
Т= тФ (q) q— w ^(q)dq. (2.49)
Следовательно, H=T-\-V. Но зато в этом случае L^tT—V, и мы имеем пример того, что лагранжева функция не всегда равняется разности между кинетической и потенциальной энергиями.
Введя новую переменную р = щ = тмФ (?), можем привести наше
уравнение к типу Гамильтона. Функция Гамильтона напише гея так:
Н(р, q)= Jw (р) dp + g, (2.50)
где Ir (р) есть функция, получающаяся разрешением относительно q выражения р = тФ (q). Характер функции Ф(^), как видно из кривой рис. 94, таков, что преобразования р = Ф (q) взаимно непрерывны и взаимно однозначны. Уравнения Гамильтона напишутся так:
^P- — ^i-dfI-W (пЛ
dt dq — С ' dt dp
Характер поведения интегральных кривых на фазовой плоскости
определится из интеграла энергии, который на основании (2.47) — (2.49) может быть записан в виде
® Jil^+ m=cmst (2-51)
Это выражение аналогично тем, которые мы получали при рассмотрении примеров консервативных систем в § 5, с той лишь разницей, § 6] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
145
что q и q как бы поменялись местами. Мы можем поэтому относительно характера интегральных кривых высказать те же утверждения, какие были высказаны для простейших консервативных систем. Подынтегральное выражение всегда больше нуля, и потому
q dq есть положительная функция, производная которой обращается в нуль только в точке <7 = 0. Следовательно, <7 = 0 соответствует минимуму энергии, и особая точка <7 = 0, <7 = 0 есть центр; она соответствует устойчивому положению равновесия. Все интегральные кривые суть замкнутые кривые, вложенные одна в другую и охватывающие особую точку. Более точно мы сможем определить характер интегральных кривых, задавшись определенным аналитическим выражением функции Ф (і). Эта функция при отсутствии подмагничивания достаточно хорошо аппроксимируется выражением
(2.52)
где А, В и 5—положительные константы. Взяв это выражение, мы получим:
6Ф_Aw 1 д w_
Щ S w2g2 S + S2
и далее:
ГдФ ¦ Aw2 С q dq , D W2 С . ,.
Первый интеграл вычисляется при ПОМОЩИ подстановки Cfi=Z. Окончательно получим:
AS , (q2 . S2 \ . Bw2 , , соч
+ + 2<Г?'+^=Const. (2.53)
Это уравнение определяет семейство кривых типа эллипса. На рис. 95 изображено семейство этих кривых, построенное для некоторого частного значения параметров.
2. Колебательный контур с сегнетовой солью в конденсаторе. В качестве второго примера нелинейной консервативной системы мы рассмотрим колебательный контур с конденсатором, в котором диэлектриком является сегнетова соль (рис. 96), обладающая электрическими свойствами, аналогичными магнитным свойствам железа. Для сегнетовой соли характерна нелинейная зависимость между электрической индукцией D и напряженностью, поля E 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
