Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
Седло
Рис. 77.
Центр
Седло
(O=S^birjU) = O) (эта точка является седлом при X — 1), имеет вид (оа = sin2 0+2Х (cos»+ 1). (А)
Уравнением второй, проходящей через точку (0, 0), которая является
седлом при Х<^1, будет:
,o« = sin2d+2X (cos»—1).
(В)
Обе эти сепаратрисы, имеющие вид «восьмерок», изображены на рис. 76 для случая 0<^Х<^1. При X = O обе сепаратрисы сливаются, и получается картина, изображенная на рис. 77. При — 1<^Х<^0 получается та же картина, что и при 0<^Х<^-|-1, но сдвинутая на TZ вдоль оси » (рис. 78). Вслучае0<Х<1 (рис. 76 внутри наружной сепарат рисы (сепаратрисы А) име ются три области периоди ческих движений, две одно-связные (замкнутые фазовые траектории охватывают один из центров) и одна двухсвязная (замкнутые фазовые траектории охватывают оба центра и седло 0 = 0, со = 0 с сепаратрисой В). Фазовые траектории, расположенные вне наружной сепаратрисы, всегда замкнутые и охватывают цилиндр (это имеет место при любых X); они соответствуют, очевидно, периодическим движениям тяжелой точки с обеганием всей окружности. Так как при X = O сепаратрисы сливаются, то при этом значении X двухсвязной области, о которой только что шла речь, не существует. Качественная топологическая картина интегральных кривых меняется, и следовательно, X = O является бифуркационным значением. Точно
Сепаратрисы Рис. 78.
Сепаратриса I
Рис. 79.§ 5] ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА 133
так же при |Х|^>1 получается новая картина интегральных кривых (рис. 79 и 80), следовательно, значения X=+1 и X = -I являются также бифуркационными значениями параметра X.
2. Движение тяжелой точки по параболе, вращающейся вокруг вертикальной оси. В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу. Положим, что тяжелая точка массы т. может свободно двигаться по параболе, определяемой уравнением х2 = 2pz и вращающейся с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси г (рис. 81). Моделью для этой задачи может служить известная демонстрационная модель — тяжелый шарик в чашке, имеющей форму параболоида вращения. Для составления уравнений движения точки мы могли бы поступить так же, как в предыдущей задаче, именно ввести силы инерции (т. е. снова центробежную силу) и написать уравнения, выражающие второй закон Ньютона для движений в плоскости X, z. Мы поступим, однако, несколько иначе, чтобы на частном примере напомнить читателям уравнения Лагранжа второго рода, которые нам понадобятся в скором времени.
Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид
Ось Враіцения параболы
Рис. 81.
dl \ _dL _п AtXdql)... dq] ~ '
(2.32)
где L—лагранжева функция, которая для обычных случаев механики представляет собой разность между кинетической и нотенци-1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
альной энергиями, т. е.
L=T-V. (2.33)
Потенциальная энергия системы — это энергия точки т в поле силы тяжести, т. е.
V = mgz. (2.34)
Кинетическая энергия составляется из энергии вращения тела вокруг вертикальной оси и энергии движения в плоскости X, Z (так как направления этих движений перпендикулярны друг к другу). Следовательно,
T = ЛїЩ^І—1_ IL (х* _[_ _ja). (2.35)
Заменяя і через ^ (из уравнения параболы) и составляя лагранжеву функцию (2.33), получим:
L = J ( 1+? (2.36)
где ^1==P—и уравнение Лагранжа напишется так:
т (1 +? + = 0
или
К')*
— ; Xі '
1 + ^
р2
Полагая х=у, имеем:
(1А.У1 P
dx_ . dy
dt~r' dt С Гх*\
PiJ
и, деля одно на другое:
^=-Vizh,
dx ( х*\
Первый интеграл уравнения (2.32), так называемый интеграл энергии,
имеет вид: ^x—L = const. (В справедливости этого легко убедиться
непосредственной подстановкой.) Как видно из выражений для T и V, интеграл энергии имеет следующий вид:
т |7
2
(1+? У +=COHSt.
Уравнение f(x, X) = О для рассматриваемого случая напишется так: nikx = (^следовательно, ^ = /иХ и, значит, X = O есть бифуркационное§ 5] ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА 135
значение параметра. Для разных значений X получаются следующие типы движений и состояний равновесия:
1)Х>0 ^Qa—одно устойчивое состояние равновесия типа
центра лг=_у = 0. Вид интегральных кривых на фазовой плоскости (вложенные одна в другую замкнутйе кривые) изображен на рис. 82. В этом случае точка будет совершать колебания вокруг состояния равновесия X = 0, _у = 0.
2) X = —бесконечное множество состояний равновесия, соответствующих прямой _у = 0. Вид интегральных кривых на фазовой плоскости изображен на рис. 83. Точка либо будет по-
V A^O ____ Центр
Ґ г \ \ х
Рис. 82.
коиться в любом месте параболы, либо будет монотонно двигаться в ту сторону, в которую ей будет сообщена начальная скорость; при t, стремящемся к бесконечности, скорость стремится к нулю; скорость получается максимальная на вершине параболы.
3) X<o(Qa>j) -
одно неустойчивое состояние равновесия лг = 0, _у = 0 типа седла; из интеграла энергии сразу видно, что прямые
у =± У— ^P удовлетворяют уравнению движения и являются поэтому интегральными кривыми. Эти интегральные «кривые» соответствуют таким движениям точки по вращающейся параооле, при которык проекция скорости точки на ось х остается постоянной. Общий вид интегральных кривых для этого случая изображен на рис. 84. Если начальная скорость достаточно велика (больше чем У—Xp),