Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 54

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 335 >> Следующая


КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. Il

Седло

Рис. 77.

Центр

Седло

(O=S^birjU) = O) (эта точка является седлом при X — 1), имеет вид (оа = sin2 0+2Х (cos»+ 1). (А)

Уравнением второй, проходящей через точку (0, 0), которая является

седлом при Х<^1, будет:

,o« = sin2d+2X (cos»—1).

(В)

Обе эти сепаратрисы, имеющие вид «восьмерок», изображены на рис. 76 для случая 0<^Х<^1. При X = O обе сепаратрисы сливаются, и получается картина, изображенная на рис. 77. При — 1<^Х<^0 получается та же картина, что и при 0<^Х<^-|-1, но сдвинутая на TZ вдоль оси » (рис. 78). Вслучае0<Х<1 (рис. 76 внутри наружной сепарат рисы (сепаратрисы А) име ются три области периоди ческих движений, две одно-связные (замкнутые фазовые траектории охватывают один из центров) и одна двухсвязная (замкнутые фазовые траектории охватывают оба центра и седло 0 = 0, со = 0 с сепаратрисой В). Фазовые траектории, расположенные вне наружной сепаратрисы, всегда замкнутые и охватывают цилиндр (это имеет место при любых X); они соответствуют, очевидно, периодическим движениям тяжелой точки с обеганием всей окружности. Так как при X = O сепаратрисы сливаются, то при этом значении X двухсвязной области, о которой только что шла речь, не существует. Качественная топологическая картина интегральных кривых меняется, и следовательно, X = O является бифуркационным значением. Точно

Сепаратрисы Рис. 78.

Сепаратриса I

Рис. 79. § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА 133

так же при |Х|^>1 получается новая картина интегральных кривых (рис. 79 и 80), следовательно, значения X=+1 и X = -I являются также бифуркационными значениями параметра X.

2. Движение тяжелой точки по параболе, вращающейся вокруг вертикальной оси. В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу. Положим, что тяжелая точка массы т. может свободно двигаться по параболе, определяемой уравнением х2 = 2pz и вращающейся с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси г (рис. 81). Моделью для этой задачи может служить известная демонстрационная модель — тяжелый шарик в чашке, имеющей форму параболоида вращения. Для составления уравнений движения точки мы могли бы поступить так же, как в предыдущей задаче, именно ввести силы инерции (т. е. снова центробежную силу) и написать уравнения, выражающие второй закон Ньютона для движений в плоскости X, z. Мы поступим, однако, несколько иначе, чтобы на частном примере напомнить читателям уравнения Лагранжа второго рода, которые нам понадобятся в скором времени.

Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

Ось Враіцения параболы

Рис. 81.

dl \ _dL _п AtXdql)... dq] ~ '

(2.32)

где L—лагранжева функция, которая для обычных случаев механики представляет собой разность между кинетической и нотенци- 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il

альной энергиями, т. е.

L=T-V. (2.33)

Потенциальная энергия системы — это энергия точки т в поле силы тяжести, т. е.

V = mgz. (2.34)

Кинетическая энергия составляется из энергии вращения тела вокруг вертикальной оси и энергии движения в плоскости X, Z (так как направления этих движений перпендикулярны друг к другу). Следовательно,

T = ЛїЩ^І—1_ IL (х* _[_ _ja). (2.35)

Заменяя і через ^ (из уравнения параболы) и составляя лагранжеву функцию (2.33), получим:

L = J ( 1+? (2.36)

где ^1==P—и уравнение Лагранжа напишется так:

т (1 +? + = 0

или

К')*

— ; Xі '

1 + ^

р2

Полагая х=у, имеем:

(1А.У1 P

dx_ . dy

dt~r' dt С Гх*\

PiJ

и, деля одно на другое:

^=-Vizh,

dx ( х*\

Первый интеграл уравнения (2.32), так называемый интеграл энергии,

имеет вид: ^x—L = const. (В справедливости этого легко убедиться

непосредственной подстановкой.) Как видно из выражений для T и V, интеграл энергии имеет следующий вид:

т |7

2

(1+? У +=COHSt.

Уравнение f(x, X) = О для рассматриваемого случая напишется так: nikx = (^следовательно, ^ = /иХ и, значит, X = O есть бифуркационное § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА 135

значение параметра. Для разных значений X получаются следующие типы движений и состояний равновесия:

1)Х>0 ^Qa—одно устойчивое состояние равновесия типа

центра лг=_у = 0. Вид интегральных кривых на фазовой плоскости (вложенные одна в другую замкнутйе кривые) изображен на рис. 82. В этом случае точка будет совершать колебания вокруг состояния равновесия X = 0, _у = 0.

2) X = —бесконечное множество состояний равновесия, соответствующих прямой _у = 0. Вид интегральных кривых на фазовой плоскости изображен на рис. 83. Точка либо будет по-

V A^O ____ Центр

Ґ г \ \ х

Рис. 82.

коиться в любом месте параболы, либо будет монотонно двигаться в ту сторону, в которую ей будет сообщена начальная скорость; при t, стремящемся к бесконечности, скорость стремится к нулю; скорость получается максимальная на вершине параболы.

3) X<o(Qa>j) -

одно неустойчивое состояние равновесия лг = 0, _у = 0 типа седла; из интеграла энергии сразу видно, что прямые

у =± У— ^P удовлетворяют уравнению движения и являются поэтому интегральными кривыми. Эти интегральные «кривые» соответствуют таким движениям точки по вращающейся параооле, при которык проекция скорости точки на ось х остается постоянной. Общий вид интегральных кривых для этого случая изображен на рис. 84. Если начальная скорость достаточно велика (больше чем У—Xp),
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed