Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
V=-VcAp
'J=-VcAp
Рис. 84.
1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
то характер движения такой же, как в случае X = O; при меньших начальных скоростях точка либо монотонно движется в одну сторону, имея минимальное значение скорости на вершине, либо, не достигая вершины, поворачивает обратно; эти два последних типа движения разделяются двумя интегральными кривыми, проходящими через особую точку, причем по одной из них представляющая точка может двигаться к состоянию равновесия, асимптотически приближаясь к нему.
3. Движение проводника, обтекаемого током. Рассмотрим, наконец, последний пример: бесконечный прямолинейный проводник,
по которому течет электрический ток силой /, притягивает провод AB длины I и массы т, по которому течет ток i\ провод AB, кроме того, притягивается пружиной С (рис. 85). Возьмем за начало отсчета на оси х то положение A9Ba провода AB, при котором пружина не деформирована, и обозначим через а координату провода с током /. Будем предполагать, что проводники всегда параллельны друг другу и что ток с концов провода AB отводится подводящими проводниками, перпендикулярными к току /. Тогда силу взаимодействия проводов можно принять равной
, _ 2/ • U J і ——rf—.
где d = a— X (здесь все величины выражены в единицах системы CGSM). Принимая силу действия пружины равной кх, где k — коэффициент упругости пружины, получим, что вся сила, действующая на провод AB, напишется так:
fix, X) = -kx + -^L. = k (^r- х) , (2.37)
і 2/// .. , где k = уРавнение> связывающее параметр X и координату положения равновесия X, имеет вид
яли
X* — ах -f- X = 0.
Бифуркационная диаграмма изображена на рис. 86. Уравнение/(лг, Х)=0
X=O
Рис. 85.
§ 5] ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА 137
имеет кратный корень при \ = ~. Это значит, что при = ^ и ^ = ^ обращается в нуль не только сама функция f(x, X), но и ее произ-
' 1 а2
водная fx(x, л). Следовательно, X = — есть бифуркационное значение параметра. Уравнения движения имеют вид
dx_i( dy_^ _ k \х* — ах [Л \
ml а — Л; J '
dt —у' dt ~ т * Х
откуда получаем:
dy_ k Xі — ах + X
dx т (а — х) у
(2.38)
Для рассматриваемой системы помимо особых точек существует «особая» прямая X = а, на которой сила f(x, X) обращается в бесконечность Интеграл энергии имеет вид
ту'1
+ ^kxi -{- kX In \а — х\ = С. (2.39)
1) Прежде всего рассмотрим случай X —(рис. 87). Особых точек в этом случае две, причем одна из особых точек есть центр, именно
та, для которой х = \--Ь, где b = J/'—- — \\ другая особая точка —
седло; для нее х = ~ -j- b; конечно, и для той и для другой
') Из рассмотрения, очевидно, следует исключить как прямую х = а, так и небольшую ее окрестность, так как они соответствуют состояниям системы, в которых провод AB находится в месте, занимаемом проводником с током /, и которые, следовательно, не реализуемы в физической системе. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
У = 0. Касательные к интегральным кривым вертикальны на оси у = 0 (и на прямой X = а, однако этот случай мы исключили из рассмотрения) и горизонтальны на вертикальных прямых, проходящих через обе особые точки. Особая прямая X = а есть' интегральная
Рис. 87.
Рис. 88.
кривая и вместе с тем асимптота остальных интегральных кривых. Уравнение сепаратрисы получим, подставив в интеграл энергии у = Q и
х = ~-\-Ь (т. е. условие, что сепаратриса проходит через седло)
и определяя отсюда константу энергии С; имеем:
и следовательно, уравнение сепаратрисы имеет вид
ту
~Т
+1[>
а А
2
In
г-
- 0.
Второй корень X этого уравнения при = т. е. координату точки пересечения сепаратрисы с осью jc, можно н^йти при помощи графического построения,шоивеценного на рис. 88. Для этого строим две кривые:
5 = И ? = 2Х In
или X = а
а А
2
е , и находим вторую точку пересечения А
этих кривых, кроме точки х=~-{-Ь;-у = 0. Глядя на фазовый § 5]
ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА
139
портрет рассматриваемой системы следующие заключения: отрезок провода AB будет совершать колебания, если начальные условия таковы, что представляющая точка в# начальный момент находится внутри петли сепаратрисы. В частности,, при начальной скорости, равной нулю, отрезок провода AB будет колебаться, если его Отклонение от положения равновесия будет не слишком велико.
2) Рассмотрим теперь второй а2
случай, В таком случае
уравнение /(.лг, X) = 0 не имеет действительных корней, и система не имеет особых точек (состояний равновесия). Ход интегральных кривых для этого случая изображен на рис. 89. При любых начальных условиях в
(рис. 87), сразу можно вывести
Рис. 89.
Сепаратриса
Рис. 90.
конце концов провод AB приближается с беспредельно возрастающей скоростью по направлению к прямой- х ==а, т. е. к бесконечному 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
проводу (при х^а задача, как мы уже указывали, не имеет смысла). Колебательные движения в этом случае, очевидно, невозможны.
