Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. Il
(2.61)
в оба уравнения. Следовательно, уравнения движения в общем виде могут быть написаны таким образом:
du dF 1 „, ,
dt= dU QWH)= u^ v^ dv dF 1 ... \
Tt=SiQb^T) = v^u' v^
Эти более общие уравнения консервативной системы носят название уравнений Пфаффа. Относительно S (и, v) мы предположим, что это — однозначная аналитическая функция на всей плоскости и, v, не обращающаяся в нуль ни для каких конечных значений и, v.
Можно было бы сделать более общие предположения о функции
S (it, v) = Q vj' например допустить, что эта функция может обращаться в нуль или терять голоморфность вдоль изолированных кривых. Соответствующие уравнения довольно часто встречаются на практике как идеальные модели реальных систем, и эти модели в ряде случаев (например, в некоторых случаях, когда вышеупомянутые изолированные кривые совпадают с фазовыми траекториями) несомненно заслуживают отнесения к классу консервативных систем. Однако мы не будем проводить здесь исследование и классификацию таких «патологических» случаев, а ограничимся лишь несколькими замечаниями, касающимися терминологии, и рассмотрением примера (пункт 6 настоящего параграфа).
Легко видеть, что в частном случае
<?(«, ®)=1
мы получаем уравнения типа Гамильтона:
dv__o/У du_dH
dt du' dt ~dv '
Здесь согласно общепринятым обозначениям F обозначено через Н. Уравнения Гамильтона, как мы видели, имеют однозначный интеграл Hconst, обычно представляющий интеграл энергии (однако, как уже указывалось, это бывает не всегда).
Уравнения (2.61) эквивалентны уравнению
V (и, v)du — U (н, u) dv = О,
которое, как известно, всегда допускает интегрирующий множитель. Поэтому формально всякую динамическую систему, описываемую двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, можно привести к виду (2.61). Однако не все системы, описываемые этими уравнениями, консервативны. Причина этого лежит в том, что в случае, когда консервативная система описывается уравнениями типа (2.61), на функции FnQ налагаются определенные условия (однозначность, аналитичность и т. д.). Когда в классической механике рассматривают § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 155
гамильтоновы уравнения, то там H есть энергия, и поэтому эти условия обычно автоматически удовлетворяются.
Заметим, что если динамическая система задана дифференциальными уравнениями общего вида
dJL-U- dLL-U dt—U' dt '
то не существует общих методов, которые позволили бы установить, консервативна ли описываемая этими уравнениями система или нет. Часто неконсервативность системы можно установить сразу, например доказав существование абсолютно устойчивых или неустойчивых состояний равновесия. Вообще же установить консервативный характер интегральных кривых можно, только найдя каким-нибудь способом однозначный интеграл системы.
3. Консервативные системы и вариационный принцип. Характерной чертой консервативных уравнений является их вариационное происхождение.
Как известно, уравнения Гамильтона могут быть получены с помощью вариационного принципа Гамильтона:
ti I1
8^ Ldt = Ь ^(pq — Н) dt = 0. (2.62)
6 о
Именно пользуясь тем, что bq обращается в нуль для ^ = O и t = tx, выражение (2.62) можно преобразовать к виду
м)ъ + (р + -%Ы<и=о.
if
dp j ґ 1 \ґ 1 дд J 4 і
откуда в силу так называемой «основной леммы» вариационного исчисления получаем уравнения Гамильтона:
dH . дИ
I=Tp' Р=~~дї-
Рассмотрим теперь более общий вариационный принцип, а именно предположим, что подынтегральная функция в варьируемом интеграле есть линейная комбинация более общего вида:
8 ij' { Xx -(- Yy F} dt = 0, 'о
где X, Y и F — однозначные аналитические функции только jc и у.
В этом более общем случае вариационные уравнения или, иначе, уравнения движения получают вид
^ , .dv dF „ dx dF
q^x- ^ti=Tx и ^Tt=-где Q (л:, у) = Xy- K1v. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
Это — уже известные нам уравнения Пфаффа, являющиеся наиболее общей формой уравнений, описывающих консервативные системы.
4. Интегральный инвариант. Введем теперь понятие об интегральном инварианте. Рассмотрим сначала соответствующую задачу в общем виде, не связывая ее с консервативностью, чтобы затем использовать полученные результаты для консервативных систем.
Пусть некоторая динамическая система определяется уравнениями общего вида
х=Р(х,у), y = Q(x,y). (2.63)
Будем интерпретировать изображающие точки на фазовой плоскости как частицы некоторой двумерной «жидкости», а фазовые траектории — как линии тока стационарного течения этой «жидкости» по фазовой плоскости, предполагая, что нигде нет ни источников, ни стоков «жидкостей». Пусть р(х, у) будет «плотность» этой воображаемой жидкости. Рассмотрим множество изображающих точек — совокупность «частиц жидкости», которые заполняли в момент времени / = O некоторую область («двумерный объем») G(O) на фазовой плоскости. «Масса» рассматриваемого «объема жидкости», очевидно, выразится интегралом
I (0) = J ^ P (*,, Уо) dx0 dy0
