Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Каждой динамической системе соответствует топологически вполне однозначно некоторая фазовая поверхность с расположенной на ней сеткой фазовых траекторий, так что каждой точке фазовой поверхности соответствует вполне определенное состояние системы и обратно; соответствие это взаимно непрерывно и взаимно однозначно. Необходимым признаком консервативности системы мы будем считать существование однозначного интеграла вида
F(u,v) = C, (2.59)
где и, V — координаты, определяющие положение точки на фазовой плоскости. Во избежание излишних рассуждений мы предположим, что функция F(u,v) — однозначная аналитическая функция; по существу задачи она не может тождественно равняться постоянной величине. Рассматривая С как третью координату, откладываемую по нормали к фазовой поверхности, мы можем интерпретировать уравнение (2.59) как уравнение некоторой новой поверхности, построенной над фазовой поверхностью. Построенная таким образом поверхность обладает тем свойством, что линии равного уровня (уровень отсчитывается по оси С) суть интегральные кривые. В том случае, когда фазовая поверхность представляет собой плоскость, линии равного уровня, т. е. интегральные кривые, представляют собой пересечение поверхности F(u,v) = C с плоскостью, параллельной фазовой плоскости и определяемой уравнением C=C0, где С — координата, a C0 — константа (рис. 103).
Зная одну такую поверхность, можно построить их бесчисленное множество. Действительно, нас интересуют исключительно сами линии равного уровня, их относительная высота нас совершенно не интересует. Следовательно, мы можем по какому угодно закону изменять 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
«масштаб» оси С, произвольным образом сжимая или растягивая его на отдельных участках. Мы будем получать все новые и новые поверхности, причем все они будут обладать тем свойством, что линии равного уровня суть интегральные кривые. На аналитическом языке
это означает тог очевидный факт, что если F (и, v) = C есть интеграл некоторого уравнения, то и Ф [F (и, г>)] = С также будет интегралом этого уравнения.
Особые точки кривых равного уровня соответствуют особым точкам системы интегральных кривых: так, изолированные точки кривых равного уровня соответствуют центру; узловые точки — седлу; точки заострения — особым точкам, получаемым от слияния центра и седла. Дифференциальное уравнение интегральных кривых, как это следует из уравнения (2.59), имеет вид
dJL
^ = — (2.60) du dF
dv
Особые точки соответствуют тем значениям 11, V, для которых одновременно и ^ обращаются в нуль. Может случиться, что dF dF ,
и обращаются одновременно в нули не только в изолированных
точках, но и вдоль некоторой аналитической кривой. Покажем, что такая кривая непременно является интегральной, т. е. что точки этой кривой удовлетворяют уравнению F (и, и) = const. Предположим, что кривая, о которой идет речь, дана в параметрической форме:
и = и (s), V= v(s).
Тогда
dF_dF du , dF dv
ds du ds "T" dv ds
dF „ dF n или, так как -j- =0 и 3- = 0, то du dv
ds § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
153
откуда
F = const,
т. е. F (и, v) вдоль кривой сохраняет постоянное значение. Нетрудно видеть, что такой случай имеет место, если соответствующая кривая равного наклона состоит из точек, в которых касательная плоскость параллельна фазовой поверхности, как, например, когда поверхность F (a, v) = C имеет вид кратера, края которого лежат на одном уровне (рис. 104). Ни одна из особых точек не может быть такого
типа, чтобы через нее проходило бесконечное множество интегральных кривых, сплошь заполняющих некоторую часть плоскости, ибо в этом случае все кривые должны были бы быть одного уровня; в силу аналитичности F (и, v) в этом случае вообще была бы постоянной, что противоречит поставленному условию. Отсюда мы можем заключить, что особые точки в консервативной системе не могут быть ни узлами, ни фокусами. Совершенно аналогичными рассуждениями можно показать, что в консервативной системе не может быть замкнутой интегральной кривой, на которую бы другие интегральные кривые навивались. Далее можно утверждать, что если существует одна замкнутая траектория, то их обязательно существует целый континуум, сплошь заполняющий часть плоскости; это следует непосредственно из того, что фазовые траектории представляют собой линии уровня непрерывной поверхности F(ll, v)=C. Поэтому не может существовать одна изолированная замкнутая траектория, ибо если одна линия уровня на непрерывной поверхности замкнута, то и все близкие линии уровня также должны быть замкнуты.
Перейдем. теперь к исследованию движения во времени по этим траекториям. Поскольку уравнение (2.60) представляет собой результат исключения времени из уравнений движения, то, для того чтобы вернуться к уравнениям движения в их общем виде, мы должны принять во внимание, что вместе с исключением времени могла исчезнуть некоторая функция .S (и, г») = уу—- входящая множителем
Рис. 104. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
