Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Зависимость положений равновесия от параметра может быть наглядно проиллюстрирована так называемой бифуркационной диаграммой— кривой f{x, /) = 0, построенной на плоскости X, х. Пусть, например, эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 72. Прямая X = X0, параллельная оси ординат, пересекает кривую /(х, X) = 0 в трех точках; это, очевидно, означает, что при данном значении параметра X = X0 система имеет три положения равновесия X=Xit X=Jci и X = X3. При уменьшении X положения равновесия X = X1 и х = х2 сближаются, при X = Xc сливаются и затем пропадают (при Х<^ХС существует только одно положение равновесия: х = х3). Значение параметра X = Xc является, таким образом, бифуркационным значением. Также бифуркационными будут значения X = Хд и Х = ХД, при которых также происходит изменение числа равновесных состояний системы.
') Мы предполагаем, что f(x, X) — аналитическая функция х на всей прямой х и аналитическая функция X для рассматриваемой области значений X.
X
д f№,X hO F
---- в
С Q
__E
Ac Aa Д, Aa А
Рис. 72. § 5]
ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА
127
Дифференцируя уравнение (2.22) по X, имеем:
dL dJc
dx ' dl
или
dx _ f'x (*¦ X)
(2.23)
Отсюда следует, что в окрестности точки кривой f(x, X) = О, для которой f'x (X1X)^ О, X является непрерывно дифференцируемой функцией X. Поэтому, если для некоторого значения параметра X = X0 система уравнений
не имеет действительных решений для лг, мы можем утверждать, что в достаточно малой окрестности этого значения параметра X = X0 абсциссы X всех положений равновесия являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра X и их число не может изменяться. Тем самым такое значение X = X0 не является бифуркационным (в том смысле, что при переходе X через X = X0 не происходит изменения числа состояний равновесия).
Пусть теперь в некоторой точке (X, х) кривой f(x, X) = 0 также и /Х(х, X) = 0. Если f'x(x, X) = 0, a fx(x, X)^ 0, то кривая в этой точке имеет вертикальную касательную, и когда X проходит (в соответствующем направлении) через значение, соответствующее этой точке, два действительных корня для х сливаются, а затем становятся комплексными1). Это — точка бифуркации, в которой происходит изменение числа состояний равновесия (точки В и С на рис. 72). Если же в точке (X, х) кривой f(x, X) = 0 fx(x, Х) = 0 и f\(x, Х) = 0, то мы имеем дело с особой точкой (в смысле дифференциальной геометрии) этой кривой. Эта точка (точка А на рис. 72) будет также точкой бифуркации, так как при значении X, соответствующем этой точке, число равновесных состояний всегда иное, чем при соседних значениях этого параметра.
Таким образом, точки кривой f(x, Х) = 0, для которых f'x (х,Х) = 0, являются точками бифуркации, а соответствующие значения параметра X — бифуркационными значениями. Кроме этих значений бифуркационными значениями параметра X будут те значения, при которых кривая f(x, X) = O уходит в бесконечность (это будет иметь место, если эта кривая имеет бесконечные ветви с вертикальными асимптотами).
f(x, X) = 0, fx(x, X) = 0
(2.24)
') Мы исключаем из рассмотрения случай, когда кривая f(x, X) = 0 в этой точке имеет точку перегиба. 1ля этого достаточно, например, предположить, ЧТО В ЭТОЙ точке fxi (х, 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
Каждому положению равновесия X = х соответствует определенное состояние равновесия (лг = х, х=0) — определенная особая точка на фазовой плоскости. Характер особых точек или, что все равно, устойчивость состояний равновесия определяется, как мы видели, знаком производной fx(x, X) = — Vxx (х, Именно, при
/Х{х, Х)<0
(2.25)
Рис. 73.
(потенциальная энергия минимальна) состояние равновесия устойчиво (типа центра), а при
/И*, Х)>0 (2.26)
(потенциальная энергия максимальна) состояние равновесия является седлом и неустойчиво.
Нетрудно дать, следуя Пуанкаре, простой рецепт для быстрого определения устойчивости состояний равновесия при помощи бифуркационной диаграммы. Отметим (заштрихуем) на плоскости X, х области f(x, Х)]>0 (кривая f (х, X)= 0, очевидно, будет их границей). Если данная точка (Х,х) лежит над заштрихованной областью, то она соотвЬтствует устойчивому состоянию равновесия '). Действительно, вблизи этой точки функция f(x, X) убывает с увеличением X (X фиксировано) от положительных значений внутри заштрихованной области до нуля на кривой /(х,к)=0. Следовательно, /Х(х, Х)<^0, что соответствует особой точке типа центра и устойчивому состоянию равновесия. Если же точка кривой f(x, X)= О лежит под заштрихованной областью, то она соответствует неустойчивому состоянию равновесия, так как для нее в силу аналогичных соображений имеет место неравенство /Х{х, Х)]>0. Следуя этому рецепту, сразу находим, что, например, на рис. 73 точки участков DA, AFB, CE (начерченных жирной линией с точками) соответствуют устойчивым, а точки участков AGB и AC (начерченных тонкой линией с кружками) — неустойчивым состояниям равновесия.
Обратим теперь внимание на следующее. Если мы будем двигаться на бифуркационной диаграмме вдоль кривой f(x, X) = 0, то характер состояния равновесия, т. е. его устойчивость или неустойчивость, будет сохраняться до тех пор, пока мы не дойдем до точки бифуркации. Нетрудно видеть, что если мы будем продолжать двигаться дальше по кривой, следуя направлению касательной (т. е. следя за тем, чтобы касательная вращалась непрерывно), то в точке бифуркации устойчивое состояние равновесия сменится неустойчивым
