Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ah
(лг0,_у0 — координаты изображающих точек при t = 0). Наша «жидкость» течет по фазовой плоскости, следуя линиям тока, определяемым уравнениями движения (2.63) или их решением:
x = x(t; х0, у0), у =_у (1х0, у0) (2.64)
(так как х0,у0 — начальные значения координат изображающих точек, то, очевидно, X (0; Xn, _у0) = х0 и у(0; х0, _у0)=_у0). По этим траекториям будут перемещаться и рассматриваемые «частицы» жидкости, заполнявшие в момент / = 0 «объем» G(O). Обозначим через G(t) область, которую будет заполнять эта совокупность «частиц» в момент времени t. «Масса жидкости» в этом новом «объеме»
I (t) = J j р (х, у) dx dy (2.65)
G(t)
и должна быть равна /(0), если наша интерпретация движения изображающих точек на фазовой плоскости как стационарного течения некоторой «жидкости» С ПЛОТНОСТЬЮ P (х, у) и без источников и стоков является правильной, так как для «жидкости» должен выполняться закон сохранения «массы». Точнее говоря, такая интерпретация движения изображающих точек возможна только лишь в том случае, когда можно подобрать такую функцию р (х, у)— «плотность» жидкости, чтобы «масса жидкости», «масса» любой совокупности ее § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
157
«частиц», оставалась неизменной во время движения. Мы будем говорить, что в этом случае уравнения движения (2.63) допускают двумерный положительный интегральный инвариант. Таким образом, выражение (2.65) является интегральным инвариантом (функция р (jc, у) называется фазовой плотностью интегрального инварианта ')), если при любой начальной области O(O) /(^) = /(0) или, что то же самое,
y)dxdy = 0 (2.66)
ab)
при любой области интегрирования Q (t).
Найдем условие, которому должна удовлетворять функция р (jc, у) для того, чтобы выражение (2.65) было интегральным инвариантом уравнений (2.63). При дифференцировании интеграла (2.65) по времени основное затруднение состоит в том, что область О (t), по которой совершается интегрирование, меняется с течением времени. Чтобы обойти эту трудность, перейдем под интегралом от переменных х,у к переменным Jc0, уй с помощью якобиана 2)
дх ду
д(х, у) _ дх0 дх0
д (х0, Уо) дх_ dy
ду0 ду0
D :
= D (t\ х0, у0) ф 0.
(2.67)
') Ниже мы будем считать функцию р (х, у) положительно определенной и ограниченной:
О P (х, у) < М,
где M — некоторое постоянное число; кроме того, эта функция не должна равняться тождественно нулю ни в какой конечной области.
s) Докажем, что якобиан D не равняется нулю (только в этом случае примененное преобразование переменных будет взаимно однозначным). Дифференцируя D (t; х0, у0) по времени, получим:
= D{P'x(x, у)+ QUx, у)},
так как, рассматривая х, у как функции х, у согласно уравнениям движения (2.63), а X, у как функции t; х0,у0 согласно решению этих уравнений (2.64), имеем:
дх dI дх dl
dD дх0 дх0 + дх0 дх0
dt ' дх дУ дх ш
ду0 дУо Wo ду0
дх
дх0
дх
и аналогичные выражения для , и . Интегрируя по времени (при заданных х0, у0), получим:
^ { Px j-) + Qy (X, у)}
dt
D (t; х0, уо) — D (0; х0, у0) еи 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
После перехода к новым переменным jc0,_у0 получим:
/(0= JJ р(*. У) T^JS dx^ (2-68)
o(o)
причем здесь под X и у следует понимать функции X (t\ jc0, JZ0) и y(t\ jc0, у0) — решение дифференциальных уравнений (2.63), и
dl(t)
J J ^ [PO] dx0 dy0>
dt
q (o)
так как теперь область интегрирования от времени не зависит. Поскольку эта производная должна равняться тождественно нулю при любой области интегрирования G(O), подынтегральное выражение должно также тождественно равняться нулю (при любых jc0, _у0), т. е. ')
y)-D(t- х9, _у0)} = 0. (2.69)
Так как
W
f = D{P'x+Q;},
то
г ™ г> <?р і dD n \ dp n , dp п , дР , dQ и условие (2.69), поскольку D ф 0, сводится к условию
J-X (р/>) + I (PQ) = 0 (2.70)
при любых jc, у.
где X = Xit; У о), У = У У > X0, у0). Но
. д (дс0, >'о)
D (0; Уо) =
д ix о, _у„) поэтому
t
j { р'х (*, у) + Qy (*. -v)} dt Dit; х0, у„) = е° 9^0.
') Мы пишем производную по времени как частную, так как х, у и Dit; хя, _у„) зависят не только от времени, но и от ,v0, _у0. § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
159
Нетрудно показать, что уравнения Гамильтона всегда допускают интегральный инвариант с постоянной фазовой плотностью (которую, не нарушая общности, можно положить равной единице). Действительно, в случае уравнений Гамильтона, полагая х= q, у = р и р=1, условие (2.70) можно свести к условию
которое выполняется тождественно в силу перестановочности дифференцирования.
Таким образом, фазовая площадь («двумерный фазовый объем») является интегральным инвариантом для уравнений Гамильтона. Это утверждение, впервые доказанное Лиувиллем, носит название теоремы Лиувилля.
Для уяснения несколько абстрактной теоремы Лиувилля рассмотрим примеры, в которых инвариантность фазовой площади нетрудно непосредственно установить.
Пример I. Гармоническое движение:
dp da
Tt=-I' Tt = P'
