Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 68

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 335 >> Следующая


') Для того чтобы убедиться, что кривые (3.8) действительно имеют такой вид, поступим следующим образом. Найдем, во-первых, точки пересечения кривых (3.8) с осью абсцисс, которые определяются, очевидно, уравнением

{х—\)ех = С.

Для графического решения этого уравнения построим на вспомогательной плоскости X, г кривую

Z = (л:—\)е* (а)

(эта кривая имеет единственный экстремум—минимум z =—1 прил; = 0; г — 0 при х- — оо, Z = 0 при х = 1 и z — + 00 ПРИ х — + Тогда точки пересечения кривой (3.8), соответствующей заданному С, с осью абсцисс определятся как точки пересечения кривой (а) с прямой z = C. Очевидно, при С <. — 1 точек пересечения нет; при C = — 1 имеется одна двухкратная точка лг = 0; при — 1 < С < 0 — две точки: X = X1 <0 и х = xa > 0, причем X2 < 1, и при C-^O X1 — — оо, а лг2-»1. Наконец, при C^O имеется только одна точка пересечения

Далее интегральную кривую (3.8) с заданным С легко построить, пользуясь соотношением

у" = [С — (х — 1) ех] е~х.

Очевидно, эта кривая существует только при тех значениях х, при которых прямая z = C проходит над кривой (а). 174

НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

[гл. III

ф



Если в начальный момент представляющая точка находилась внутри области, ограниченной сепаратрисой, то система будет совершать периодическое движение с амплитудой, целиком определяемой начальными условиями (из вида интегральных кривых сразу можно заключить, что колебания будут по форме существенно отличаться от синусоидальных). Это свойство является, как мы видели, одним из наиболее характерных свойств консервативных систем; введенное нами трение, которое в течение одной части периода препятствует движению, а в течение другой «помогает» ему, не нарушает консервативности системы.

От этого случая легко перейти к рассмотрению диссипативной системы — осциллятора с «настоящим» квадратичным трением, т. е. с силой трения, пропорциональной квадрату скорости (рис. 113) и выражаемой соотношением

Рис. 113.

dq\* dt

Ф = -6(-77) sgn [ -тт

(dq \dt

0). Уравнение движения такого осциллятора

заменой переменных, указанной в примечании на стр. 172,приводится к уравнению

2х -U Xі sgn X -)- X = 0, (3.9)

или

X= у, 2у = — X —_уа sgn у



(3.10)

Из полученных уравнений следует, что единственным состоянием равновесия является начало координат (0,0). Далее, поскольку уравнения (3.10) не меняют своего вида при замене переменных х, у на —X, —у, фазовые траектории в верхней полуплоскости симметричны относительно начала координат с фазовыми траекториями в нижней полуплоскости (иначе говоря, если кривая y=f (x) является фазовой траекторией, то фазовой траекторией будет и кривая y=-f(-X)). § 2| ОСЦИЛЛЯТОР С «КУЛОНОВСКИМ» ТРЕНИЕМ

1'79

Но фазовые траектории в верхней полуплоскости очевидно,

совпадают с траекториями (3.8) только что рассмотренной консервативной системы. Поэтому, сохранив над осью X картину, изображенную на рис. 112, и построив в нижней полуплоскости траектории, симметричные (относительно начала координат) с траекториями в верхней полуплоскости, мы получим фазовый портрет ос-1 циллятора с квадратичным трением (рис. 114).

Как и следовало ожидать, состояние равновесия (0,0) является устойчивым и к нему асимптотически (при t -v -j- оо) приближаются все остальные спиралевидные фазовые траектории; иначе говоря, система при любых начальных условиях совершает осцилляторно затухающие колебания *).

§ 2. Осциллятор с «кулоновским» трением

В качестве другого примера диссипативной системы мы рассмотрим осциллятор с «сухим» трением (рис. 115), причем для простоты будем считать, что при отсутствии трения система представляет гармонический осциллятор. Такую задачу об осцилляторе, который при отсутствии трения был бы гармоническим, мы уже рассматривали в гл. I, § 4, предполагая, однако, при этом, что сила трения пропорциональна скорости. Этот закон трения удовлетворительно определяет сопротивление движению тела со стороны жидкой или газообразной среды при не слишком больших скоростях. Однако этот линейный закон совершенно не отображает закономерностей «сухого» трения — трения между твердыми поверхностями (без слоя смазки между ними), имеющегося в рассматриваемой колебательной системе. Достаточно хорошо основные черты этих закономерностей, во всяком случае в области малых скоростей, передаются предположением о «постоянном»

') В § 9 гл. VIII мы докажем, что фазовые траектории идут действительно так, путем сведения задачи к некоторому точечному преобразованию прямой в прямую,

Рис. 115. 176

НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

[гл. III

или «кулоновском» трении. Конечно, когда речь идет о постоянном трении, то нужно понимать под этим трение, постоянное по величине, но не по направлению, так как направление силы трения всегда противоположно направлению скорости(только в этом случае условие диссипативно-сти, т. е. неравенство (3.2), соблюдается). Зависимость кулоновской силы трения / от скорости V можно, как мы уже это делали, изобразить диаграммой, приведенной на рис. 116. При этом следует помнить, что величина силы трения для v = О может принимать в зависимости от величины других действующих на систему сил любые значения от -f~/o до —/0, полностью уравновешивая эти силы при условии, что их равнодействующая не превышает по абсолютной величине максимальную силу трения покоя /о1).
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed