Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 64

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 335 >> Следующая


Из существования интегрального инварианта со знакоопределен-ной и ограниченной фазовой плотностью еще раз следует невозможность существования в консервативных системах состояний равновесия типа узла или фокуса и замкнутых фазовых траекторий, к которым асимптотически приближались бы соседние фазовые траектории (т. е. предельных циклов). Действительно, допустив противоположное, мы будем иметь на фазовой плоскости такие «полоски тока», сечения которых будут неограниченно уменьшаться (точнее говоря, стремиться к нулю) при приближении этих «полосок тока» к состояниям равновесия типа узла или фокуса или к предельному циклу. Но фазовые скорости там остаются конечными (а при приближении к состояниям равновесия даже стремятся к нулю), следовательно по мере приближения к состояниям равновесия или к предельным циклам фазовая плотность должна неограниченно возрастать, что невозможно.

5. Основные свойства консервативных систем. Рассмотрим теперь несколько подробнее движения, допускаемые в консервативной системе. Начнем с положений равновесия. Положения равновесия определяются обращением в нуль правых частей уравнений (2.61):

Эти положения равновесия либо соответствуют особым точкам системы, либо образуют линии равновесия (в случае существования общих

множителей у -г— и , которые тогда, как мы видели, непременно

совпадают с интегральными кривыми.

Мы видели, что особыми точками не могут быть точки, к которым сходится бесконечное множество траекторий, сплошь заполняющих часть плоскости, т. е., другими словами, положения равновесия не могут быть абсолютно устойчивыми.

Замкнутые траектории соответствуют периодическим решениям: мы уже видели, что если есть хоть одно такое периодическое решение, то другие движения не могут на него накручиваться (а также с него скручиваться).

Иначе говоря (как мы уже упоминали), в консервативной системе не может быть также абсолютно орбитно-устойчивых траекторий. Если в консервативной системе есть одна замкнутая траектория, то их обязательно существует бесконечное множество, сплошь заполняющее некоторую область фазовой плоскости, причем эти замкнутые траектории вложены одна в другую. Физически это значит, что если возможно одно периодическое движение, то возможно бесконечное множество их, причем максимальные размахи и максимальные значения скоростей могут иметь любые значения, заключенные между § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 163

определенными пределами в зависимости от начальных условий. Нетрудно видеть, что периоды колебаний, вообще говоря, различны для различных максимальных размахов, т. е. также зависят от начальных условий. Системы, допускающие изохронные колебания, т. е. колебания, период которых не зависит от максимального размаха, представляют исключительный случай; в качестве примера можно указать на уже рассмотренный в гл. I случай гармонического осциллятора. В случае, если фазовая поверхность топологически эквивалентна плоскости, внутри замкнутых траекторий обязательно должна быть одна или несколько особых точек (если такая особая точка одна, то это обязательно центр). Колебания в системе совершаются только около одного или нескольких положений равновесия, из которых обязательно некоторые устойчивы. Если же, например, фазовая поверхность—цилиндр, то могут существовать замкнутые траектории, не охватывающие особых точек, а именно траектории, охватывающие цилиндр; в таких системах могут происходить периодические движения по замкнутым траекториям, не охватывающим положений равновесия. В качестве примера можно указать на вращение маятника без затухания при большой начальной скорости. Далее возможны замкнутые интегральные кривые с одной или несколькими особыми точками; первые соответствуют дважды лимитационным движениям, т. е. движениям, которые для t, стремящегося K 4" со, и t, стремящегося к — оо, стремятся к одному и тому же положению равновесия. Вторые соответствуют лимитационным движениям, которые для t оо стремятся к одному положению равновесия, а для t—>--оо к другому. Возможны также лимитационно-убегающие движения, которые для t, стремящегося в одну сторону в бесконечность, стремятся к положению равновесия, а для t, стремящегося в другую сторону в бесконечность, тоже уходят в бесконечность, и, наконец, дважды убегающие движения, которые в обе стороны уходят в бесконечность.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующей терминологией. Если уравнения движения системы (определяемой двумя автономными уравнениями первого порядка) допускают однозначный аналитический интеграл, то мы будем говорить, что структура интегральных кривых на фазовой плоскости для этой системы имеет консервативный характер. Такую систему, имеющую однозначный аналитический интеграл, мы будем называть консервативной системой, если она имеет интегральный инвариант, удовлетворяющий следующим требованиям: ^область интегрирования Q (^0) можег быть выбрана любой, лишь бы ее не пересекали некоторые изолированные кривые; 2) при дальнейшем изменении t Q (t) не стремится к нулю, оставаясь в конечной части фазовой плоскости.
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed