Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение укажем еще на одно свойство, о котором мы уже кратко упоминали, а именно неустойчивость консервативных систем в отношении изменения вида дифференциальных уравнений. Можно
6« 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
показать, что малейшее изменение вида дифференциального уравнения, вообще говоря, существенно изменяет всю картину на фазовой плоскости и нарушает консервативность системы. Для иллюстрации этого положения, которое будет точно сформулировано и разъяснено для общего случая в дальнейшем, можно привести следующий пример. Уравнение гармонического осциллятора х щ*х = 0 мы можем рассматривать как частный случай уравнения линейного осциллятора:
XjrHkjr ш02л; = 0.
При A = O мы получаем консервативную систему — особую точку центр и интегральные кривые в виде семейства вложенных друг в друга эллипсов. При h ф 0, но как угодно малом, т. е., по существу, при сколь угодно малом изменении вида дифференциального уравнения, система перестает быть консервативной, особая точка превращается в фокус, замкнутые траектории исчезают и появляются спирали. Можно сказать иначе, что консервативная система представляет собой весьма частный случай динамической системы, случай, который осуществляется только при вполне определенных значениях некоторых параметров системы (и поэтому практически этот случай неосуществим). Изменение этих параметров, вообще говоря, связано с изменением вида дифференциальных уравнений и нарушением консервативности системы
6. Пример. Совместное существование двух видов. Мы рассматривали до сих пор в виде примеров либо механические, либо электрические системы, для которых вопрос о консервативности решался непосредственно из физических соображений: поскольку трение или сопротивление в системе отсутствует, мы сразу можем сделать заключение, что система консервативна. Однако возможны случаи, когда такие простые соображения для решения вопроса о том, консервативна ли система, уже не могут быть применены. Необходимым критерием консервативности служит приведенный в предыдущем параграфе признак наличия однозначного аналитического интеграла вида F (и, v) = C. В качестве примера такой системы, для которой вопрос о консервативности не может быть решен заранее, мы приведем пример из области биологии, принадлежащий Вольтерра [175, 199, 45], именно мы рассмотрим совместное существование двух видов животных (например, двух видов рыб). Первый вид питается продуктами среды, которые, мы предположим, имеются всегда в достаточном количестве. Рыбы второго вида питаются только рыбами первого вида. Число особей каждого вида есть, конечно, целое число и, следовательно, может изменяться только скачками, но чтобы иметь возможность применить методы дифференциального исчисления, мы будем рассматривать их как
!) Напомним, что в § 5 мы рассматривали специально выбранные изменения параметров системы, не нарушающие консервативности системы. § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 165
непрерывные функции времени. Обозначим число особей первого вида через N1, второго—через /V2. Мы предположим, что если бы первый вид жил один, то число особей его непрерывно увеличивалось бы, причем1 скорость увеличения мы предположим пропорциональной числу имеющихся налицо особей; тогда мы можем написать:
dNі
-Of = ^1,
причем S1 ^>0. Этот коэффициент увеличения S1 зависит от смертности и рождаемости. Если бы второй вид жил один, то он бы постепенно вымирал, так как ему нечем было бы питаться, поэтому для второго вида мы можем написать:
dNs dt
= — S9ZV2,
Теперь предположим, что оба вида живут совместно, тогда коэффициент увеличения первого вида будет тем меньше, чем больше A72, так как рыб первого вида поедают рыбы второго вида. Мы сделаем простейшее предположение, а именно, что коэффициент увеличения S1 уменьшается на величину, пропорциональную Ni: аналогичным образом предположим, что коэффициент уменьшения второго вида S2 в силу наличия первого вида (наличия пищи) изменяется на величину, пропорциональную N1. При этих предположениях мы получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
= N1 (S1 -T1W,); ^ = -Ni (S2-T2Af1), (2.72)
причем S1, s2, Ti и т2 все больше нуля'). Умножая первое уравнение на Tu> второе — на Ti и складывая, получим:
^ Ж + Ті 1ЇІГ ^ BibN1 — i^TiaV,
умножая же первое на и второе на ^j- и складывая, имеем:
IrfJVil 1 dN, ,
Следовательно,
dN1 і rfJVs rf In N1 d In N2 Л
Последнее уравнение непосредственно интегрируется, и мы найдем однозначный интеграл:
T2A/1 -J- Ti^u — ®а 1° N1 — S1 In Ni = const.
') Заметим, что к уравнениям вида (2.72) приводят (при соответствующих упрощающих предположениях) также и некоторые задачи кинетики химические процессов; см., например, [123]. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
Этот интеграл мы можем записать в таком виде:
F (Ni, Ni) = є галг, е._ їіЛ'аNHN4 = const. (2.73)
Нетрудно убедиться, что выражение
HdNl dNa N1N1
будет интегральным инвариантом. На основании этого мы заключаем, что рассматриваемая система является консервативной. Перейдем
