Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В рассматриваемой нами системе на массу т кроме силы сухого трения действует еще сила натяжения пружин — kx. Поэтому неподвижный осциллятор (х=0) останется в покое, если сила натяжения пружин по абсолютному значению не превышает /0, так как она будет полностью уравновешена силой сухого трения. Таким образом, все
f %
-fo
Рис. 116.
положения осциллятора с координатами —X х s^ T М0ГУТ быть
положениями покоя. Если же I kx j /0, то сила натяжения пружины уже не будет полностью уравновешена силой сухого трения и осциллятор придет в движение. При движении осциллятора сила кулонов-ского трения /=-(-/0 при i<(0 и /=—/0 при х^>0.
Итак, для рассматриваемой задачи мы можем записать силу куло-новского трения в следующем виде:
/о
/=
+ /о при х<0,
+/о при х = 0 и
-f- kx при х = 0 и
-/о при х = 0 и AX<—/о,
-/о при х>0
(3.11)
(сила кулоновского трения является, таким образом, нелинейной, разрывной функцией и зависит не только от скорости х, но и от координаты X осциллятора).
*) По закону Кулона максимальная сила трения покоя /0 пропорциональна силе давления одной трущейся поверхности на другую; в нашем случае /о = ро mg, где ро — так называемый коэффициент трения, § 2| ОСЦИЛЛЯТОР С «КУЛОНОВСКИМ» ТРЕНИЕМ 1'79
Соответственно нелинейное дифференциальное уравнение движения осциллятора
тх = — kx4-f (3.12)
мы можем записать в виде двух различных линейных уравнений, одно из которых справедливо для движения влево:
тх -f kx = -f /„ (дт<0), (3.12а)
а другое — для движения вправо:
mx + kx = — /0 (х>0). (3.126)
При неподвижном осцилляторе (т. е. при X = O) Jc= 0, если I kx I sg /о,
тх = — kx-\-f0, если kx^>f0, и, наконец, тх = — kx—/0, если /0.
Как найти движение такой системы? Пусть, например, в начальный момент у нас х^>0. Движение системы описывается первым дифференциальным уравнением (3.12а). Скорость будет уменьшаться до некоторого момента t = tu и когда система достигнет координаты X = X1, скорость обратится в нуль. Затем скорость переменит знак, и система будет двигаться в обратном направлении'). Обратное движение, само собой разумеется, описывается уже вторым уравнением (3.126), причем теперь в качестве начальных условий обратного движения нужно взять те значения координаты и скорости (x1, 0), которыми обладала система в конце предыдущего этапа движения. Таким же образом поступают и дальше: меняют уравнение при каждом изменении направления движения, «припасовывая» начальные условия, т. е. принимая за начальное состояние то состояние, в которое пришла
система в предшествующем движении. Обозначая -^- = u)jj, ~ = аи>1
(^очевидно, что в таком случае a = ~j, напишем уравнения движения рассматриваемой системы в таком виде:
*+„и={+<»: """ *<»• (злз)
I —ашо при х^>0.
Вводя для первого уравнения новую переменную ^1 = X — а, а для второго I2= х-)-а, получим два одинаковых уравнения: + (при ? <0) и ^-fu)^2 = 0 (при ?;>0), но для
переменных, отнесенных к разным началам координат. Решениями этих уравнений являются уравнения гармонического колебания. Следовательно, движение рассматриваемой системы можно представить себе составленным из двух «половин» гармонических колебаний,
Тело, конечно, может остановиться. Остановится оно или не остановится, зависит от того, что больше в точке X1: максимальное значение силы трения/0 или сила упругости. 178
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. III
происходящих относительно двух различных положений равновесия, сдвинутых соответственно на расстояние -\~а и —-а от истинного положения равновесия, которое занимала бы система при отсутствии трения. «Смена уравнений» происходит в тот момент, когда скорость системы обращается в нуль, но координата отлична от нуля. Следовательно, при каждой «смене уравнений» мы имеем начальные условия X = X0;-, х=0. Решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, есть хо; cos (U0^ (если для момента «смены уравнений» положить ^ = 0). Поэтому каждое «полуколебание» мы должны изображать отрезком косинусоиды от 0 до тг, т. е. от одного экстремального значения до следующего.
Изображая движение на осциллограмме x=f(t), мы должны поступить следующим образом (рис. 117). Пусть начальное отклонение системы х01, а начальная скорость х01 = 0. Если начальное отклонение положительно, то скорость первое время будет отрицательна и,
значит, положение равновесия будет смещено на а> т• е- на величину а кверху от оси времен. Поэтому в результате первого полуколебания от одного экстремального значения до другого система дойдет вниз до наибольшего отклонения x02, причем
I -"rOa I I -jcOi I 2а.
Дальше, для второго полуколебания (при х^>0) вступает в силу второе уравнение, и следовательно, это будет полуколебание относительно положения равновесия, сдвинутого на — а, т. е. на величину а книзу от оси времен, начинающееся также с экстремального значения. К концу этого полуколебания система достигнет наибольшего отклонения X03 (над осью t), причем | X031 = | X021 — 2а = = |х011 —4а.
То обстоятельство, что положение равновесия смещается в сторону начального отклонения, как легко видеть, и обусловливает затухание колебаний. Наибольшие отклонения, которых достигает система (экстремумы отклонений), убывают каждый раз по абсолютной величине на 2а, а наибольшие отклонения в одну сторону (максимумы или минимумы) представляют собой убывающую арифметическую прогрессию с разностью прогрессии, равной Aa. Ясно, что эта прогрессия состоит из конечного числа членов, и движение прекращается по прошествии конечного числа колебаний. Действительно, когда наибольшее отклонение упадет до величины, меньшей, чем За, например отклонение X03 на рис. 117, то следующее движение приведет систему в область, заключенную между прямыми -j- а и — а. § 2| ОСЦИЛЛЯТОР С «КУЛОНОВСКИМ» ТРЕНИЕМ 1'79
