Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
jc2- 1=(^ + 1)* 2,
так как jc' -[- 1 и jc2 — 1 — расстояния начальной и конечной точек «полувитка» от «состояния равновесия» (1, 0). Исключая jc', получим:
jc2=l-[-e 2^-Jce"". (3.19)
Эта функция, определяющая по заданной точке пересечения фазовой траектории с полуосью положительных jc последующую точку пересечения, называется функцией последования. Она определяет некоторое точечное преобразование полупрямой (полуоси положительных х) самой в себя, устанавливая определенное взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точек jc1 этой полупрямой с точками jc2 той же полупрямой.
Неподвижная точка этого точечного преобразования — точка, преобразующаяся сама в себя (для нее Jc1=Jc2), очевидно, является точкой пересечения замкнутой фазовой траектории с полуосью положительных jc. Подставляя в (3.19) Jc1 = jc, хг = х, получим для неподвижной точки:
d
jc=i + е-"2 -\-xe-",
или
_ d
X = =-'-J > 1 • (3.20)
1 - Г 3 § 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ J-ХАРАКТЁРИСТИКИ 187
Таким образом, рассматривая точечное преобразование полуоси положительных X самой в себя, осуществляемое фазовыми траекториями и выражаемое функцией последования (3.19), мы доказали, что на фазовой плоскости лампового генератора имеется единственная замкнутая фазовая траектория, соответствующая периодическим, незатухающим колебаниям в генераторе. Однако, для того чтобы утверждать, что эти незатухающие колебания действительно могут происходить и что наши высказывания о наличии периодического режима имели физическое значение, нам следует ответить еще на два вопроса. Во-первых, на вопрос о том, при каких начальных условиях устанавливается найденное нами периодическое решение, в частности установится ли оно, если начальные значения х и х будут достаточно малы. Во-вторых, на вопрос о том, устойчиво ли найденное периодическое движение по отношению к произвольным малым изменениям начальных условий, например по отношению к изменениям максимального значения силы тока. На оба эти вопроса мы легко сможем ответить, рассматривая график функции последования (3.19) — так называемую «диаграмму Ламерея» (рис. 124). Очевидно, графиком функции последования (3.19) является прямая линия с угловым коэффициентом отсекающая на оси ординат положительный отрезок
_ d_
1 е 2 . Неподвижная точка х, по определению, должна лежать на прямой Jcr1 = Jcra и, следовательно, является точкой пересечения этой
прямой с графиком функции последования (из рис. 124 еще раз следует существование и единственность неподвижной точки).
Возьмем какую-либо фазовую траекторию, отличную от замкнутой, и рассмотрим последовательность точек ее пересечения с полуосью у= 0, jer^>0 — последовательность точек лг,, Jcr2, х3, ... (рис. 123). В этой последовательности точек каждая последующая точка определяется по предыдущей функцией последования (3.19), и, пользуясь построением, приведенным на рис. 124, можно определить по заданной 188
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. III
первой точке х, все последующие Xi, лг3> X1, ... Такое построение (так называемая «лестница Ламерея») на рис. 124 проведено для двух последовательностей точек, для одной из которых начальная точка xj<^x, а для другой хі'^>х. Как видно из рис. 124, точки обеих последовательностей xj, х2, Хз, ... и х'{, X2, Хз, ... приближаются к неподвижной точке X'). Это, очевидно, означает, что фазовые траектории, идущие как вне, так и внутри замкнутой фазовой траектории, асимптотически приближаются (при t со) к последней. Такую изолированную замкнутую фазовую траекторию, к которой стремятся все соседние и которая соответствует периодическому режиму в системе, мы будем называть предельным циклом.
Таким образом, полученные результаты дают право ответить сразу на оба интересующих нас вопроса. Действительно, во-первых, каковы бы ни были начальные условия, в системе установятся незатухающие колебания и, во-вторых, эти незатухающие колебания устойчивы2), так как отклонения (в обе стороны) от стационарного режима затухают. Таким образом, мы видим, что в данном случае, несмотря на наличие трения, в нашей системе устанавливаются и поддерживаются незатухающие колебания за счет сил, зависящих от состояния движения самой системы, причем «амплитуда» этих колебаний определяется свойствами системы, а не начальными условиями. Такие колебания мы будем называть автоколебаниями, а системы, в которых возможны автоколебания, — автоколебательными системами3).
Амплитуда автоколебаний4) для безразмерной величины х равна
х*=1(х + *') = 4*(1 +*-"/«) = і = IcthI,
или для тока в колебательном контуре
I = Is- х* =^ cth~. (3.21)
') Нетрудно показать и аналитически, что последовательность X1, х2, хг, при любых X1 имеет своей предельной точкой неподвижную точку преобразования X, т. е. ЧТО Xn--X при п -»со и любых X1. Действительно, как нетрудно видеть,
1 _р-<л-1> d
X ----I Jrr-In-Dd
Лп- [ _ g-dj2 ^ ЛіЄ
и, следовательно, хп— ^ _ =х при п-^со и любых X1. Это также
следует и из теоремы Кенигса, которая будет подробно рассмотрена в § 7 гл. V.
