Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
[гл. III
нию (3.18) определить, как ведет себя система при прохождении х через нуль. Исходя из физически ясного требования ограниченности напряжений и токов в схеме, мы можем утверждать, что х и х непрерывны всюду и, в частности, при x = O1). Поэтому, как и в предыдущем случае, мы будем рассматривать два движения, подчиняющихся двум различным дифференциальным уравнениям, и будем «припасовывать» начальные условия нового движения к тому конечному состоянию, в которое привело систему предшествующее движение.
Каждое из уравнений (3.18) определяет затухающее «полуколебание» (мы будем предполагать, что затухание мало). Из этих двух «полуколебаний» только одно происходит относительно смещенного
dx
положения равновесия, именно то, для которого ^>0. Положение
равновесия для этого «полуколебания» смещается на единицу в сторону, противоположную той, в которую смещалось состояние равновесия для соответствующего «полуколебания» в случае твердого трения. Нетрудно сообразить, что это обстоятельство при достаточно малых начальных отклонениях и достаточно малом линейном затухании приводит к последовательному увеличению размахов колебаний, а не к их уйеньшению, как было в случае сухого трения. Такое нарастающее колебание, состоящее из двух «затухающих полусинусоид», из которых одна смещена в направлении оси ординат на единицу, изображено на рис. 122.
Однако легко убедиться, что это нарастание колебаний не будет продолжаться бесконечно и что в системе установятся незатухающие колебания с некоторой постоянной «амплитудой», так как при больших размахах колебаний будет происходить их последовательное уменьшение.
Этот процесс установления периодических колебаний в ламповом генераторе мы можем проследить, рассматривая фазовые траектории на фазовой плоскости х, у (у = х). Мы не будем предполагать, что сопротивление R колебательного контура достаточно мало (но оно во всяком случае таково, что /г<^ш0). Ясно, что фазовые траектории в нижней полуплоскости (_У<^0) совпадают с фазовыми траекториями
Действительно, если бы X (или ток Г) изменялись скачком, то были бы бесконечно большие э. д. с. индукции и напряжение на сетке, которые пропорциональны Это невозможно, следовательно, х — непрерывная функция времени. Точно также невозможны скачки напряжения на конденсаторе V, ибо иначе были бы бесконечные токи и напряжения в контуре. Но L ^ = — v — Rl,
поэтому непрерывным будет и ^ (или л:) в силу непрерывности V и I. Это
условие непрерывности можно получить и путем предельного перехода в задаче о ламповом генераторе с непрерывной характеристикой лампы, когда эта характеристика стремится к /-характеристике. § 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ J-ХАРАКТЁРИСТИКИ
185
(спиралями) затухающего линейного осциллятора (гл. I, § 4), а в верхней О>0)'—с такими же траекториями, но для случая осциллятора со смещенным в точку (1,0) состоянием равновесия. Из этих «полу-
Рис. 122.
витков» спиралей и образуются целые фазовые траектории, являющиеся непрерывными кривыми (как мы только что разбирали, х и у = X должны быть непрерывными функциями времени и, в частности, в те моменты, когда _у = 0). Единственным состоянием равновесия и, очевидно, неустойчивым, является точ-Ia
ка (х0, 0), где X0= -j?1)-
1S
Общий вид фазовой плоскости лампового генератора с /-характеристикой изображен на рис. 123.
Покажем, что на фазовой плоскости существует замкнутая фазовая траектория (так называемый предельный цикл), к которой асимптотически (при t -> -(- оо) приближаются все остальные фазовые траектории (а это как раз и означает, что в рассматриваемой схеме при любых начальных условиях будут устанавливаться незатухающие, периодические колебания). С этой целью рассмотрим произвольную фазовую траекторию, выходящую на нижнюю полуплоскость в некоторой точке x1
') Напомним, что мы полагаем анодный ток однозначной функцией сеточного напряжения. В частности, при Vcr-O. что имеет место в состоянии
і . о 'rO'
равновесия — Ia- 186
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. III
полуоси положительных X (рис. 123). Пройдя нижнюю полуплоскость, она пересечет полуось отрицательных х (обозначим абсциссу этой точки пересечения через — лг'), выйдет на верхнюю полуплоскость и затем вернется обратно на полуось положительных х (абсциссу этой второй, последующей точки пересечения обозначим через jcs; очевидно, X1, х' и jc2 ^>0).
Найдем связь между первой и второй точками пересечения рассматриваемой произвольной фазовой траектории с полуосью положительных jc — связь между X1 и jc2. Так как в нижней полуплоскости эта траектория является «полувитком» спирали для осциллятора с затуханием и с состоянием равновесия в точке (0, 0), то согласно (1.31)
_ d х' = jc,? 2 ,
где d = h.T= — —логарифмический декремент затухания кон-
V1aO — №
тура генератора. В верхней полуплоскости эта траектория является также «полувитком» такой же спирали, но для осциллятора с состоянием равновесия, смещенным на единицу вправо, т. е. в точку (1, 0). Поэтому согласно тому же соотношению
