Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
в которой система при отсутствии скорости может оставаться в покое в любой точке, так как в этой области | kx | Таким образом,
в рассматриваемом случае наибольшие отклонения убывают не по геометрической прогрессии, как в случае линейного осциллятора (с силой трения, пропорциональной скорости), а по арифметической прогрессии, и движение прекращается через конечный промежуток времени. Термин «логарифмический декремент затухания» в этом случае теряет свой смысл, ибо логарифм отношения двух последовательных отклонений уже не есть постоянная величина.
«Условный период» колебаний системы в том смысле, как мы его определили для затухающего колебания в случае трения, пропорционального скорости, т. е. интервал времени между двумя максимумами (во время колебательного этапа движения) для случая постоянного трения не зависит от величины силы трения и совпадает с периодом гармонического осциллятора'). При этом, как легко убедиться из рассмотрения рис. 117, расстояние (по оси времени) между максимумом и следующим нулевым значением больше, чем между нулевым значением и следующим максимумом. Эта разница тем более заметна, чем меньше максимум. Такой же «сдвиг» максимальных значений по оси времени «назад» в направлении предшествующих нулевых значений, как мы видели, имеет место и в линейной системе с трением, пропорциональным скорости. Наконец, отметим еще одно различие между системами с линейным и постоянным трением (связь этого различия с только что отмеченным легко проследить). Именно, в случае линейного трения всегда можно, по крайней мере формально, разделять системы иа колебательные и апериодические. В случае же постоянного трения разделение систем на колебательные и апериодические вообще теряет смысл, ибо всегда при любом трении можно выбрать достаточно большое начальное отклонение, так что система совершит ряд колебаний, прежде чем ее движение прекратится. Физический смысл этого свойства систем с постоянным трением выступает особенно ясно при рассмотрении вопроса о балансе энергии в системе.
Если начальное отклонение системы есть лг01, а начальная скорость равна нулю, то начальная энергия системы есть только потенциальная
kxs,
энергия V, причем Vi = --. Работа А, затрачиваемая на преодоление силы трения, не зависит от скорости, а зависит только от пути (ибо сила трения постоянна). Очевидно, что за первую половину «условного периода» эта работа составляет:
A = (I I + Ka I )/о.
1) Заметим, что в рассматриваемом случае постоянного трения интервалы времени между нулевыми значениями координаты, соответствующими движению системы в одну и ту же сторону (во время колебательного этапа), уже ке являются одинаковыми и поэтому не могут быть положены в основу определения «условного периода». 180
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. III
где Xo2 — второе наибольшее отклонение, потенциальная же энергия при х = X02 будет:
так как V1 — Vi = A1, то 2
I 7 __^
* 9-
-9- C-Vol --*?-( I Jfoil ! J^09 I )/.,
Ix011 -Ix02I = 2ff= 2a
(этот результат мы уже получили раньше из другого рассмотрения), и
Л,= 2/0(|х01| + а).
Мы видим, что с увеличением начального отклонения A1 растет линейно, а V1 — по квадратичному закону. Следовательно, при достаточно большом начальном отклонении запас энергии в системе будет гораздо больше, чем потери энергии на трение за половину условного периода, и значит, при достаточно больших начальных отклонениях система первое время всегда будет себя вести, как колебательная. Посмотрим теперь, как изобразится исследованное нами движение
на фазовой плоскости. Для этого положим, как обычно, =у и получим два дифференциальных уравнения первого порядка:
dy_— wg (х — а)
dx у dy_— и? (х + а)
dx'
интегрируя, находим:
при у 0, при _у>0;
Sr^+A=1 при ¦У<0' (ЗЛ4а)
^^+ш=1 при ¦у>0' (ЗЛ4б)
где R1 и Ri — константы интегрирования. Уравнения (3.14а) и (3.146) определяют семейства «полуэллипсов», центры которых смещены соответственно вправо (3.14а) и влево (3.146) на а. Пользуясь методом «припасования» (см. выше) и учитывая направление движения по фазовой плоскости, нетрудно построить фазовые траектории, как это и сделано на рис. 118. По этому рисунку, представляющему фазовый «портрет» рассматриваемой динамической системы, мы сразу можем судить о характере возможных движений. Все фазовые траектории суть спирали, составленные из полуэллипсов, и приходят на отрезок O1Oi, который является геометрическим местом состояний равновесия. Таким образом, вообще говоря, наша система со- § 2| ОСЦИЛЛЯТОР С «КУЛОНОВСКИМ» ТРЕНИЕМ
1'79
Рис. 118.
вершает колебания вокруг положения равновесия с уменьшающимися размахами и останавливается, совершив конечное число этих размахов, зависящее от начальных условий. В частном случае, когда начальные условия соответствуют одной из точек отрезка O1O2, наша система остается в покое. Состоянию покоя, как мы видим, соответствуют не отдельные точки, а целый отрезок прямой O1O2. Но на этом отрезке система обладает все же некоторой своеобразной«не-устойчивостью». Действительно, пусть, например, система остановилась в точке -f" Jfi, и мы, толкая ее в разные стороны, сообщаем ей одну и ту же величину начальной скорости.
