Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Но, толкая ее в одну сторону, мы «закидываем» представляющую точку на —(—-Vi»а толкая в другую сторону — на —ух (рис. 119). Так как верхние полуэллипсы в этом месте имеют большие полуоси, чем нижние, то они
идут «круче» к оси абсцисс, чем нижние, и, следовательно,при толчке —_Уі система в конечном счете больше приблизится к «истинному» положению равновесия (к началу координат), чем при толчке -\-У\ она удалится от этого положения равновесия. Следовательно, если толчки действуют как в ту, так и в другую сторону одинаково часто (например, этого можно достигнуть, подвергая систему искусственному систематическому встряхиванию), то в конце концов наша система придет в область, непосредственно прилегающую (размеры этой области сколь угодно малы при достаточно малых толчках) к «истинному» положению равновесия.
Эти явления — наличие целой области положений равновесия (так называемый «застой») и приближение системы к истинному положению равновесия в результате толчков — наблюдаются в большей или
Рис. 119. 182 НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. III
меньшей степени во всех измерительных и указательных приборах, в которых подвижная система испытывает сухое трение (например, трение в подшииниках). Застой представляет собой, конечно, вредное явление в измерительных приборах, и поэтому в них всегда стремятся сделать трение в подшипниках и вообще сухое трение возможно малым. Ясно, что «жидкое» трение не может играть такой роли, так как оно влияет только на скорость установления подвижной системы, но не влияет на окончательное ее положение. Поэтому в некоторых системах измерительных и указательных приборов используется весьма остроумный прием, позволяющий «превратить» сухое трение в жидкое. Именно, оси сообщается постоянное движение взад и вперед вдоль подшипника. Тогда составляющая силы трения оси о подшипник в направлении вращения пропорциональна скорости вращения (если скорость достаточно мала), и прибор ведет себя как система, обладающая жидким, а не сухим трением.
§ 3. Ламповый генератор в случае S-характеристики
Прием, которым мы воспользовались в предыдущем параграфе, не является, конечно, специфичным для диссипативных систем. Его можно применить в том случае, когда «силы трения» хотя и могут быть аппроксимированы разрывной характеристикой, но не подчиняются условию диссипативности. Мы рассмотрим сейчас при помощи этого
же приема — замены нелинейного уравнения несколькими линейными с припасо-выванием начальных условий—два примера, для которых не удовлетворяется условие диссипативности. Эти примеры имеют существенное значение; они позволяют нам подойти к теории периодических процессов в нелинейных системах. В качестве первого примера рассмотрим лам-Рис. 120. повый генератор с колебательным конту-
ром в цепи анода и индуктивной обратной связью (рис. 120). Пренебрегая сеточными токами и анодной реакцией и применяя обозначения, указанные на рисунке, мы можем, исходя из законов Кирхгофа, написать следующие дифференциальные уравнения для колебаний в рассматриваемом ламповом генераторе:
„. j di . , „dv
R1 ~ V dt' < = +
или после исключения V.
(3.15) § 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ J-ХАРАКТЁРИСТИКИ
183
Здесь ia = ia(us) — анодный ток, зависящий, как мы предположили, только от напряжения на сетке лампы
tlS = -mTf (ЗЛ6)
Предположим, что характеристика лампы ia = ia(ng) имеет ток насыщения (равный Is) и большую крутизну восходящего участка и что рабочая точка лежит на этом восходящем участке характеристики. Т?кал характеристика лампы изображена на рис. 121 пунктирной линией. Если амплитуда колебаний напряжения на сетке лампы настолько велика, что большую часть времени анодный ток ia равен либо нулю (лампа заперта), либо току насыщения Is, то мы можем достаточно ——-—-—<?—-
хорошо отобразить свойства такой Рис. 121.
лампы идеализированной !-характеристикой, изображенной на том же рис. 121 сплошной линией:
/с
Is
/ I 1Q
I I I / S _
L =
при Ug О, при tig О
(3.17)
(мы будем считать, что при tig = 0 Ia = il). Как мы увидим дальше, амплитуда колебаний сеточного напряжения будет тем больше, чем при прочих равных условиях меньше затухание контура. Отсюда можно заключить, что наша идеализация характеристики лампы (так называемая !-характеристика) в случае достаточно малого затухания контура и достаточно сильной обратной связи может привести к результатам, имеющим определенный физический интерес.
Выберем такое расположение катушек, чтобы коэффициент взаимоиндукции M 0 (как увидим ниже, в этом случае генератор будет совершать автоколебания); тогда уравнение для тока в колебательном контуре генератора, уравнение (3.15), может быть приведено к виду
X -[- 2hx -[- «о* =
0 при
Шц при 0,
(3.18)
где
X-
J_ LC
= ттт И 2Ii-.
Я
L
Уравнение (3.18) (равно как и (3.17)) имеет разрывную правую часть, так как анодный ток меняется скачком при проходе х или Ug через нуль. Вследствие этого мы должны дополнительно к уравне- 184
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
