Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
11. Выразить матрицу лоренцева преобразования через параметры а, ?, у, 8 группы SL(2,Q.
12. Написать матрицу А є SL(2,Q через параметры ^ = п 'ф, Ъ = nb.
13. Написать в явном виде матрицы R(l~ = п'ф) и B(b = nb).
14. Найти неподвижную точку преобразования ((а0, а)\В(Ь)) на плоскости х1).
15. Написать в явном виде матрицу НП D^1'j2\A).
16. Получить соотношения (8.41) и (8.44).
17. Найти вид инфинитезимальных операторов Д В (8.31) в спинорных представлениях.
18. Написать в явном виде квадрат псевдовектора Паули-Любански fV?.
19. Найти инфинитезимальные операторы представлений группы волнового вектора р0 = (1 0 0 1) (раздел 8.6) и соотношения коммутации для них. Определить значения вектора Паули-Любански Wц и его квадрата W2 на состояниях \р0, Q; на состояниях \р0, к, С), диагонализующих двумерные "трансляции" Z(?) при к Ф- 0 и к = 0.
152 9.Унитарные симметрии
9.1.Внутренняя симметрия элементарных частиц. Изоспин
Помимо пространственно-временных, взаимодействия частиц характеризуются т.н. внутренними симметриями, которым, как правило, отвечают некоторые унитарные группы. Предполагается, что пространственно-временная и внутренняя симметрии независимы; полная группа симметрии является произведением двух групп, вектора состояний частиц — произведениями векторов из пространств представлений этих групп. Попарно коммутируют элементы двух групп, а, значит, и инфинитезимальные операторы и операторы Казимїфа.
К числу внутренних симметрий относятся упоминавшиеся выше калибровочные симметрии [группы U(I)], сводящиеся к умножению на фазу (а— вещественный параметр, Q — "заряд") состояний частиц с зарядом Q. Заряды являются аддитивными квантовыми числами: заряд в многочастичном состоянии равняется сумме зарядов частиц, что на языке теории представлений соответствует утверждению о том, что генератор, отвечающий параметру а в произведении представлений, равняется сумме генераторов перемножаемых представлений. К числу точных внутренних симметрий, имеющих место для всех взаимодействий, относятся калибровочные симметрии, связанные с сохранением заряда, барионного и лептонного чисел. Большинство же внутренних симметрий являются приближенными и имеют место лишь для некоторых взаимодействий.
Изоспиновая (изотопическая) симметрия связана с зарядовой независимостью ядерных сил (сильных взаимодействий). Она проявляется в существовании зарядовых (іизоспиновых) мультиплетов сильно взаимодействующих частиц типа протон-нейтрон (р, п), 71-мезоны (7Г+,7Г°,7Г_) и др. Частицы мультиплета имеют одинаковый спин и очень близки по массе; они одинаково участвуют в сильных взаимодействиях. Математически изоспиновая симметрия описывается группой SU(2) (вращений в изоспиновом пространстве); изоспиновые мультиплеты образуют базисы НП этой группы и могут быть охарактеризованы изоспином/= 0, 1/2, 1, 3/2, ... Отдельные члены мультиплета являются собственными состояниями компоненты /з изоспина, им могут быть приписаны соответствующие собственные значения (аддитивные квантовые
153 числа t) в пределах от -І до +1, которые, очевидно, должны быть связаны с электрическим зарядом Q. Так, в нуклонном дублете полагают,
h\p) = (U2)\p), /3 \п) = -(1/2)|я). В триплете пионов /з|л+) = 1 |л+) и т.д. В этих примерах t = Q- (Q), где (Q) — средний электрический заряд мультиплета. Оказывается, что и в общем случае можно так идентифицировать отдельные компоненты зарядовых мультиплетов, что выполняется соотношение:
t=Q-Y/2, Y = 2(0, (9.1)
где введена величина Y — гиперзаряд мультиплета.
При ограничении сильными взаимодействиями (в приближении изоспиновой симметрии) изомультиплет можно рассматривать как одну частицу с дополнительной внутренней степенью свободы (t), обладающую определенным изоспином I и гиперзарядом Y. Множество состояний "частицы" натягивает пространство НП группы
Р+ х SU(2)(7) ж U(I)(F), где Р+ — накрывающая группы Пуанкаре. При включении электромагнитного и слабого взаимодействий изоспиновая симметрия утрачивается, и мультиплеты расщепляются на компоненты, отличающиеся по массе и электрическому заряду.
Изомультиплеты элементарных частиц естественным образом объединяются в расширенные унитарные мультиплеты. Вместе с рядом других экспериментальных фактов, это свидетельствует о наличии у частиц внутренней симметрии, более широкой, чем изоспиновая. В качестве соответствующей группы симметрии с успехом была использована группа SU(3). Ряд приложений находят также группы SU(4), SU(5),SU(6).
Остановимся кратко на трудностях, связанных с расширениями группы Пуанкаре за счет внутренних симметрий, описываемых компактными унитарными группами. Можно было бы надеяться, что разложение НП "супергруппы" G [типа псевдоунитарной группы SU(6,6), включающей как группу Пуанкаре, так и группу внутренних симметрий] по НП ее подгрупп позволит унифицировать описание элементарных частиц. Однако был доказан ряд теорем, жестко регламентирующих указанное расширение релятивистской группы, следствием которых является утверждение о невозможности расщепления масс в НП группы G. Предложен ряд способов обойти эту трудность — использование приводимых представлений, использование в группах в качестве параметров не обычных с-чисел, а антикоммутирующих величин. В последнем случае возникает возможность
