Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Вероятность недиагонального перехода і —»/в единицу времени в единице объема:
Общая группа Лоренца, как отмечалось, включает пространственные (P), временные (T) и комбинированные отражения (РТ). 4-инверсия I = PT обладает определителем +1 и относится к собственным преобразованиям Лоренца, но при ограничении вещественными преобразованиями она не связана непрерывным образом с единичным элементом. В комплексной группе Лоренца к 4-инверсии можно непрерывным образом перейти от единичного элемента, например, путем изменения
(8.89)
(8.90)
8.9. Пространственно-временные отражения. СРТ-теорема
149 параметра ^ от О до л в 4-матрице
^coshit sinhit Л (cost -sinЛ
sinh it cosh it
Є
Sltlf COSf
. Эта несколько
особая роль 4-инверсии в приложениях в квантовой теории выражается в так называемой СРТ-теореме. Согласно этой теореме всякая релятивистски-инвариантная локальная теория (уравнения поля, ^-матрица, вероятности переходов) инвариантна относительно комбинированного преобразования зарядового сопряжения (С), пространственного (P) и временного (T) отражения, 0 = CPT.
Поскольку
I (a I L)I~X = (-a I L), (8.91)
для квантовомеханических представлений имеют место аналогичные соотношения
QD(a\L)Q~l =D(-a\L), или (8.92)
0ехр(гРцяц)0_1 = ехр(-гРцяц), 0ехр(гМцуаГ)0-1 = ехр(гМцуаГ).
Для антиунитарного оператора 0 получаем следующие правила перестановки с инфинитезимальными операторами импульса и моментов:
0^0"1 = Pvl, QMlivQ-1 = -Mliv. (8.93)
Напомним, что здесь 0 — комбинированная инверсия, включая и пространственную, а не только обращение времени, как в разделе 5. Знаки правых частей соотношений (8.93) изменились бы для унитарного оператора 0; это, в частности, означало бы переход к состояниям с отрицательной энергией, приводящим к значительным трудностям в их истолковании. Как и для всех антиунитарных отражений, 0 = ±1 [= (-l)2s, ср. (5.6)].
4-инверсия не затрагивает внутренней симметрии элементарных частиц, т.е., как и преобразования Пуанкаре, коммутирует с элементами внутренней симметрии. Для унитарных представлений этих групп (с параметрами ar) имеем:
0exp(j'Frar)0-1 = exp(/Frar), 0Fr0_1 = -Fr. (8.94)
Например, заряды Q, при 4-инверсии меняют знаки, частицы переходят в античастицы. Таким образом, оператор 4-инверсии включает в себя зарядовое сопряжение, а частицы и античастицы описываются одним копредставлением расширенной за счет включения 4-инверсии группы Пуанкаре.
Теперь мы можем описать изменение одночастичных состояний (а тем самым, и операторов рождения-уничтожения) в результате 4-инверсии (СРГ-преобразования).
150 Для определенности пользуемся спиральным базисом, для которого справедливы те же свойства преобразования (8.53), что и для канонического базиса, но при другом определении поворота R(Q) , вытекающем из соотношения (8.64). Записывая (8.53) для лоренцева преобразования и используя (8.92), получаем:
QD^(L) I pXQi) = *(ВД))Є I pW.Qt) = = I p'VQt)-
v
Отсюда, с учетом (8.94) для зарядов, следует:
ЄI pXQi) = I P-K-Qi>, (8.95)
или Єа+(/>Д)Є_1 = (-l)s~xb+(p,-X).
4-инверсия, как и обращение времени Т, переводит in-состояния в out- и обратно; соответственно, инвариантность ^-матрицы относительно такой инверсии означает: (ф, S\(/) = (0v)/, S 0ф), или 0 S V = S.
Запишем СРГ-преобразование для многочастичных состояний:
0|A -,PiM^qP-,-in)=
(о.Уо)
= (.!)-1^1+?-^+- і рх-Хх,-Qf)-р2,-X1-Qf)-...out)
В отличие от 0, преобразования С, Р, T по отдельности не являются универсальными преобразованиями симметрии; они могут даже переводить физические состояния в нефизические (например, P по отношению к нейтринным состояниям). Приведем здесь без обсуждений формулы преобразований одночастичных состояний при этих операциях:
PI P,C,Q) = 4p(Q)I -p,a,Q), C\P,C,Q) = Tlc(Q) | p,a,-Q), T\p,G,Q,in)=4T(Q)(-l)s~°\-p-G,Q,out). Фазовые множители удовлетворяют соотношениям
tlctlptlr=i, r\P(Q) = r\P(-Q), V2p(Q) = (-1)2% Лс(Є)Лс(-Є) = 1-Величину T1P связывают с внутренней четностью частиц (или пар частиц).
Задачи к разделу 8
1. Показать, что R(Q)B(V)R = B(R(Q)b).
2. Убедиться, что буст В(Ь) коммутирует с вращениями около оси Ь.
3. Показать, что det ех = eSpX
151 4. Доказать: (GM)(GMr) = гст.[их/і'] +(пм').
5. Показать, что (L~l)xz = g^g^L \ т.е., (L~\v = LV(1.
6. Какие условия накладываются на параметры Aix (A = A11Oil) требованием косоэрмитовости матриц А? унитарности?
7. Показать, что произвольную матрицу Л є SL(2,C) можно записать в виде
Л = UihdU2, где щ, U2 є SU(2), hd =
d О
v0 d~\
d> 0.
8. Показать, что произвольную матрицу Л є SL(2) можно записать в виде
1 ?N
Л = hdUpu или Л = uhdTip, щ -
v0 1
? — произвольное комплексное число.
9. Рассмотрим следующие два представления группы GL(2,С) на множестве матриц
Л Л Л Л _ 1 Л Л Л Л I
второго порядка: а) А —>¦ ABA , Ь)А —»ABA . Написать матрицы этих представлений в базисе из матриц Паули
10. Показать, что det(^x5) = (det4)dimS(det?)dim^.
