Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Специальная группа Лоренца [и группа SL(2,Q] обладают двумя
t
неэквивалентными двумерными НП, комплексно-сопряженными друг другу: L+ —> SL(2) и L+ —> SL(2)*. Иными словами, существуют два равноправных комплексно-
сопряженных спинорных представления первого ранга, Л <-> Л*, и мы будем говорить о
1 2
спинорах первого и второго рода. Спинору E1 = E1 C1 + E1 е2 соответствует спинор
12 Ct
^*=Е, *єі* + E1 *е2*( = E1 — пунктирные индексы), преобразованию Л^=^'
отвечает Л*^* = Zs'*.
Спиноры высшего ранга (спин-тензоры) получаются прямым умножением спиноров первого и второго рода; спинор ранга (г\ + г2) является элементом прямого произведения T1 спинорных пространств первого рода и г2 — второго рода и
осуществляет представление ЛхЛх...ЛхЛ*хЛ*х...Л* группы SL(2,Q.
П г2
Неприводимыми являются представления симметричными по индексам каждого рода спинорами; по аналогии с группой вращений будем обозначать эти представления (и их
матрицы) посредством D^j'iJ'2\L) , где 2j1 = г\, 2j2 = г2. Ими и ограничиваются все конечномерные НП группы Лоренца. За исключением одномерного представления
(/1 =/2=0), представления D^'72' неунитарны. Базисными элементами представления служат полиномы [ср. раздел 4.7)]:
,.,(hi г) _ _eJl+mleJl~mle*J2+m2 e*J2~т2 (8 26)
i(j1+m1)\(j1-m1)\(j2+m2)\(j2-m2)\+ ~
(Подразумевается, что индекс т2 — пунктирный.) Из способа построения матриц
D(hi2) (x)
вытекает соотношение: DUlh)(L) = DUl0)(L) X D(°h)(L) = DUl0)(L) x [Dih0) (Z)] *. (8.27)
133 Представления D^ обладают вещественным характером и эквивалентны своим
(її)
комплексно-сопряженным. В частности, представление D 22 (L) эквивалентно множеству (вещественных) лоренцевых преобразований L. Переход от "канонических" координат de*j к псевдоевклидовым осуществляется посредством преобразования
е0>3 = е+е*+±е_е*_, ех = е+е*_ +е_е*+, ie2 = е+е*_ -е_е*+, (8.28)
2х° = + х-^, 2х3 = x+_i" - х-", 2Х1 =х+^+х"+, 2х2 = /(х+^-х"+). Разложение на НП произведения двух НП осуществляется (как и для унитарной
подгруппы SU(2)) с помощью обычных коэффициентов Клебша-Гордона:
j\+j\ Ji+Ji
Duji)xDuiji) = Yj X dWi) ' (8-29)
J\=\h-j\]Ji=\ji-ji]
xVjMlM1 = ХОі^Уі'^іІ JiMMm2Ji^I JiMi^y^i'- (8-30) При ограничении унитарными операторами представление Z)*-7'72' становится приводимым представлением Dq i^xDq 2^ и осуществляется операторами.
D{h)(u)xDih) *(u) = DUl) xC{h)D{j2)[C{h)Yl-Можно определить операцию поднятия и опускания спинорных индексов
(каждого рода) с помощью "метрического" (единичного антисимметричного) тензора
(ср. (3.23)):
(вар) = -(ваР) = (С^) =
ґ о Л
= ZCT2 = -D{m\ 0,71,0)
-1 о,
^a =Sap^, (8.31)
Отметим следующую связь метрических тензоров и єар:
„ YHVV_1 Pnc. Yatl;PS ^HVx У -2єауєрбх У ¦
Представлением матрицы DqKC) (Cw в обозначениях раздела 4) можно воспользоваться для поднятия и опускания спинорных индексов т в формуле (8.26).
Спинорные представления группы Лоренца с пространственной инверсией. Пространственная инверсия P (как и обращение времени Т) коммутирует с поворотами, а бусты переводит в обратные:
PR(Z)=RP(Z), РВ(Ь) = В(-Ь)Р. (8.32)
t t НП группы L при ограничении подгруппой L+ не может свестись к двумерному
спинорному представлению Z/1/2'0^ или D(0,V2\ ибо, если выполняется первое из условий
(8.32): A(P)A(S1) = A(S1)A(P) для всех вращений, то A(P) — скалярная матрица (лемма
134 Шура) и тогда она коммутирует со всеми матрицами второго порядка, что противоречит второму из условий (8.32). Таким образом, представления ортохронной группы Лоренца должны включать в себя пары сопряженных друг другу двумерных НП специальной группы Лоренца.
Представление D(V2,0) + Z/0'1'2-1 неприводимо при учете инверсии. В каноническом базисе матрицы вращений, бустов и инверсии на основании леммы Шура и (8.32) имеют вид [D(P) с точностью до множителей при стг]:
D&,b) =
о
о А*Ъ,Ъ)
4 Го > ЩР) =
V
CT2 О
(8.33)
Общий результат заключается в следующем. Конечномерными НП группы L являются D^"* + D^ ^ при j Ф j\ причем инверсия связывает между собой базисные векторы подпространств, инвариантных относительно вращений и бустов. Тензорные представления D^ при учете инверсии сохраняют свою размерность и могут дополнительно классифицироваться как истинно тензорные и псевдотензорные.
8.5. Инфинитезимальные операторы групп Лоренца и Пуанкаре
В разделе 5 было отмечено, что преобразования симметрии представляются в пространстве состояний физической системы унитарными или антиунитарными операторами. Группа Лоренца (и Пуанкаре), как любая непрерывная группа симметрии, представляется непрерывными унитарными операторами U(L). Дело в том, что любое инфинитезимальное преобразование L можно рассматривать как квадрат другого преобразования L', а квадрат как унитарного, так и антиунитарного оператора является унитарным оператором. Унитарные представления группы Лоренца, как отмечалось, могут быть только бесконечномерными, и их изучению целесообразно предпослать анализ инфинитезимальных операторов (генераторов представлений).
