Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
]р,Х) = D(s0\Bp-l)]p,X) canon = ZoD(M)aX(Bp-])\p,ol (8.65)
где Bp= B(bp) — буст, порождающий луч (р°,р) из исходного рт (Ьр = (p^p\)Asmh(\p\)/m) = (p/\p\)Acosh(p0/m)), a Z/,0) — спинорное представление веса (л'О). В спинорном базисе:
I L) I рк) = CibPaYjD^(L) | Lp,V). (8.66)
Как видно, теперь индексы р, X преобразуются независимо друг от друга; имеет смысл представить базисный вектор в виде |р,Х) = |р)|А»), и становится ясно, что Dfm^ = D(m0)xD(s0\ Условие
ортогональности и нормировки (8.60) в спинорном базисе заменяется на следующее:
(р'Х'\рХ) = 2р°Ъ(р-рг) D{$(BP~2). (8.67)
Очевидно,
у]2т(р°+т) mm
Вместо (8.62) в спинорном базисе имеем:
I ^) = Z Jl pX)^D^)(B2p)(PV\ Ч>). (8.69)
U' 2P
Выпишем еще вид инфинитезимальных операторов представлений в рассмотренных нами базисах. В каноническом базисе, используя (8.53), (8.60), (8.62), имеем
(р3о I D^ (а I ЬЬ) I V) = (&™\)(р,о) = XftoaI D™ \ р\&=
а' 2 р1
Y\e^PKaD%(R№(p\^b)-\)(p,o I р"(= Lp'),= (8.70)
а'а 2 р1
Р°
Z eipa & (L~lp, b)) -Pr^ Vt,(L-1P, а-).
а' і1 р)
143 Перепишем соотношение R(Q) = Bp 1 L(Qb)Bp', (p' = L lp) через спиновые матрицы второго порядка при малых Q b:
-у/2 т(р +т) д/2 т(р +т)
Подставляя р' = р - Ър, 8р° = Ь'р, Ър = p°b + \_Qxp\, сохраняя члены первого по Ъ, ^ порядка и учитывая соотношения
(а-А)(а-р) - (а-р)(а-А) = 2i (а-[Ахр]\ (а-р)(а-А)(а-р) = -(а-А)р2 + 2(а-р)(А-р), получаем:
ст-5' = Ct^ - \рха\Ы(р° + т). Соотношение (8.70) при a = Q, малых Q Ъ переписывается в виде: {E-U^-iN^(p,c5) =
р +т
Отсюда
ґ t \
Ф.
. о д 1 Sxр
л ' - 1P + — P + -Q-^
op dp Pu Pu+т
J = S-Ipx—; М = -ір» — + — р + -^. (8.71)
Полный момент, как и следует, складывается из спинового (S) и орбитального момента L = Rxp, в импульсном представлении R = ід /др. Обратим внимание на то, что оператор буста включает в себя импульс — оператор соответствующего бусту смещения. В нерелятивистском пределе это слагаемое исчезает.
В спинорном базисе вместо (8.70) имеем
[D^ (а I ЬШР,Х) = Y^D^Bf LB2 (8.72)
X' \L P)
Матричный элемент в правой части для инфинитезимального преобразования L равен
(Е - iS.(Q-ib))xx' и для инфинитезимальных операторов получаем:
J = L +S, N = (р/р0) -p°R - iS. (8.73)
в полном соответствии с неунитарностью спинорного представления и тем фактом, что
спинорный базис является естественным для произведения ?)(т0)х?)(,,0). Нетрудно
проверить, что для обоих наборов (8.71) и (8.73) коммутационные соотношения (8.36),
(8.43) выполняются.
144 8.8. Элементы квантовой теории полей
Приведем некоторые сведения из квантовой теории полей в связи с приложениями в этой теории неприводимых представлений группы Пуанкаре. В квантовой теории полей приходится рассматривать одновременно состояния с разными числами частиц, с разными зарядами (это могут быть электрические заряды, барионные и лептонные числа и т.п.). Заряды Qi обычно имеют строго определенные значения в любом физическом состоянии, т.е., соответствующие им операторы Qi входят во все полные наборы коммутирующих наблюдаемых. Это обстоятельство накладывает определенные ограничения на принцип суперпозиции и на наблюдаемые; совокупность этих ограничений называют правилами суперотбора. Недопустимы суперпозиции состояний с разными значениями зарядов; не являются наблюдаемыми эрмитовы операторы, связывающие такие состояния. Все гильбертово пространство состояний распадается в прямую сумму неперемешивающихся ортогональных подпространств (когерентных пространств), в каждом из которых "заряды" имеют определенные значения. Эрмитов оператор, связывающий два подпространства, не коммутировал бы с совокупностью операторов заряда и потому не мог бы входить ни в один из полных наборов коммутирующих наблюдаемых.
Непрерывные преобразования группы Пуанкаре переводят каждый луч (физически реализуемое состояние) в луч того же когерентного пространства. Отражения могут связывать два разных когерентных пространства. Так, зарядовое сопряжение связывает пространства частиц и античастиц (если частицы совпадают с античастицами, это, конечно, одно и то же пространство). Калибровочные (градиентные первого рода) преобразования меняют фазы состояний каждого когерентного пространства, не меняя наблюдаемых. С инвариантностью физической картины относительно таких преобразований и связывают сохранение зарядов. Фазы частиц и античастиц при калибровочных преобразованиях меняются противоположным образом.
Множество взаимно ортогональных состояний одной частицы \p,a,Q = D(ms\Bp)\pm,r5,C) удобно представить как результат действия на вакуумное состояние операторов рождения а+(р,о):
a+(p,<j)\ 0) = \p,<j) . + + (8.74)
Оператор уничтожения а(р,о) эрмитово сопряжен к а+(р,а), (|р,а))+ = (0|а(р,а); при
этом полагается, что а(р,а)\0) = 0. Операторы рождения и уничтожения подчиняются
145 коммутационным или антикоммутационным перестановочным соотношениям в зависимости от статистики частиц. Явный вид коммутатора (антикоммутатора) можно получить, используя соотношение нормировки одночастичных состояний (8.60):
