Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
7. Найти простые характеры P3 по формуле Фробениуса (7.16)
8. Выписать стандартные таблицы Юнга для P4.
9. Выразить характеры Х^Д и Х(/,зд) чеРез Х(/) •
10. Показать, что ^ = (-1)9,p + q = n, а для остальных разбиений = 0.
11. Вычислить характеры НП [п-1,1], [п-2,12], [я-2,2].
12. Найти матрицы НП группы P3 и матрицы транспозиций в НП P4.
13. Разложить тензоры третьего ранга над Z3 на неприводимые составляющие (относительно GL(3) и P3).
14. Разложить тензоры третьего ранга на бесследные тензоры и тензоры первого ранга относительно ортогональных преобразований.
^ 3
15. Найти термы конфигурации f .
16. Найти базисные функции термов конфигурации р .
127 8. Группы Лоренца и Пуанкаре
8.1. Определение групп Лоренца и Пуанкаре
Группа Пуанкаре (неоднородная группа Лоренца, группа движений
пространства Минковского) — множество линейных преобразований Z в
четырехмерном (вещественном псевдоевклидовом) пространстве-времени:
X = X^efl = х°ео + г, х' = Lx + а, х'ц = ZtlvXv + ац, (8.1)
сохраняющих "интервалы" между "событиями" — точками пространства-времени. Это
группа пространственно-временной симметрии изолированных физических систем,
например, рассматриваемых отдельно элементарных частиц. Считается, что множество
состояний частиц образует пространство НП ее группы симметрии, поэтому индексы
унитарных НП группы Пуанкаре описывают физические характеристики частиц.
В специальной теории относительности координата X0 = et соответствует
12 3
времени, координаты r(x ,х ,х ) — месту события. Квадрат интервала
(X - у)2 = c\h - tif - (n - V1)2 = gU^-yV - У), (8.2)
(е^ ev) = g^v — диагональный "метрический" тензор, goo = 1, gn = gii = ?зз = -1.
Множество однородных преобразований (матриц Viv) образует (общую) группу Лоренца. Сохранение интервала накладывает на матрицу условия
gvp = (Lev ,Lep)= g ^aL11vLap, или g = LgL, L011 L0v - ZiL1il L\ = g^ , (8.3)
откуда
detZ = ±1, и 1 = (Z00)2- Z(Li0)2, т.е., Z0о > 1, либо Z00 < -1. (8.4)
Соответственно, пространство группы Лоренца разбивается на четыре несвязные части,
первая из которых, включающая единичный элемент, соответствует подгруппе,
T
называемой собственной ортохронной (специальной) группой Лоренца L+ с detZ=+l
о T
hZ о> 1. Разбиение полной группы Лоренца на смежные классы по L+ выглядит так:
L= L+T +РГЬ+Т+ PUt+ ГЬ+Т, (8.5)
где T — обращение (отражение) времени, P (в этой главе) — пространственная инверсия.
Первые два класса в (8.5) образуют собственную группу Лоренца L+, первый и третий—
T
ортохронную группу L . Аналогичное (8.5) разбиение имеет место и для группы Пуанкаре.
Произвольное преобразование Пуанкаре (см.(8.1)) можно записать в виде (a\L), а— 4-вектор "трансляции"; тогда произведение преобразований, по аналогии с (6.1), равно
g\gi = (ai|Zi)(a2|Z2) = (а\ + Zia2 |ZiZ2). (8.6)
128 Обратный элемент: (a\L) 1 = (-L xa\L , сопряженные элементы:
(b\L') (a\L) (b\L')~l = (b+L'a-L'LL'~lb\L'LL'~l), так что подгруппа трансляций оказывается инвариантной. Группа Пуанкаре — полупрямое произведение инвариантной абелевой подгруппы трансляций и группы Лоренца. Имеется пятимерное матричное представление группы:
(a\L)-
Ґ T \
L а О 1
(8.7)
T
Десять условий (8.3) сводят число параметров группы L+ до шести; группа Пуанкаре
T
P+ — 10-параметрическая; обе группы, очевидно, некомпактные. Произвольный
t
элемент группы Лоренца L+ можно представить как произведение трехмерного вращения пространственных координат 7????) и "чисто лоренцева" преобразования (буста) В:
UJtJb) = B(P)R(S) = m)B(R~lb). (8.8)
Буст В(Ь) описывает переход к системе координат, движущейся относительно исходной в направлении b = Ъп (п = 1) со скоростью v = с tanhЬ:
В(Ь)[г - n(n.r)] = г - п(п.г) Be о = ео cosh Ъ + п sinho, Bn = ео sinho + п cosho =X0CoshZ? + («.r)sinh?, г' = r- n(n.r) + «x°sinhi + n(n.r)cos\\b. (8.9)
В более привычных для физики обозначениях при я||х преобразование B(v,ex) выглядит
так:
f= ;+vx/g2, X'=.х+уґ . (8.10)
Vl-v2/c2 Vl-V2Zc2 Докажем возможность выражения (8.8) для преобразования Лоренца. Пусть ео=(1,0,0,0) и Leо = х; из (8.9) вытекает, что существует единственный буст, переводящий вектор ео вх = (х°,г), а именно буст с cosho = х°, п = r/sinho [(х0)2 - г2 = (ео, ео) = 1]. Таким образом, B(-b)Leо = ео, т.е., B(-b)L — обычное вращение.
8.2. Элементы специальной теории относительности
Преобразование Пуанкаре (8.1) будем трактовать как операцию над наблюдаемой физической системой (установкой, частицей), как ее поворот и смещение (так называемая "активная" точка зрения, в противоположность эквивалентной ей
129 "пассивной" точке зрения, трактующей преобразования как изменение системы координат).
Пусть с физической системой, покоящейся относительно данной "лаборатории" (системы отсчета) происходят два события (0,0,0,0) и (ct,0,0,0) (например, рождение и распад за время t мезона); интервал между событиями (времениподобный) равен ct. Если же система движется, скажем, со скоростью v вдоль оси jt, то координаты второго события даются формулой (8.10) с х = 0. Интервал между событиями неизменен, но время между ними:
