Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
[4 4] = ± 4, [/+, /-] = 2/3. (9.18а)
Аналогичные соотношения имеют место для компонент U-, F-спинов. Далее,
[I3,U±-\ = + \U±, [I3,F+\ = ±jV±, [F3,I±] = ±jl±,
[F3,U±] = ±±U±, [1/3,І±] = Ці±, [U3,V±] = +±r±, (9.18b)
[]F,/±] = 0, [Y,U±] = ±U±, [Y,F±] = ±F±.
Наконец,
[F+,/+] = [F+,/+] = 0, [F+,I_] = -U+, [F_,I+] = U_,
[U+,I+] = -F+, [U+,I_] = [U_,I+] = 0, [U_,I_] = F_, (9.18c)
[U+,F+] = [U_,F_] = 0, [U+,F_] = /_, [U_,F+] = -I+.
160 Операторы (9.12) связаны с /-, V-, ^/-операторами соотношениями:
Sz = 2V3, S± = 42(1 ± + U±), si = 2V±, S±SZ + SzS = 42(1 ± -U±),S(S +1)-3SZ2 = 2(-/3 + CZ3).
+
(9.19)
Выберем далее в качестве базисных собственные векторы эрмитовых операторов /з и Y(F%), 11, у)] одновременно эти векторы являются собственными и для U2, P3, так что иногда мы будем обозначать их \t,u,v) = \t,y). В силу (9.17) и (9.16):
Из соотношений коммутации вытекает, что /з{/± |t,y)} = (t ± 1){/± |t,y)}, и, как и при построении представлений группы вращений, мы приходим к выводу о том, что возможные значения t — целые и полуцелые числа. В силу полной симметрии спинов /, U, V то же, очевидно, можно сказать и о значениях и и v; тогда величина у может принимать лишь значения, кратные 1/3. Таким образом, возможные наборы (t, у) образуют плоскую решетку, причем подходящим выбором масштаба решетку можно сделать правильной гексагональной (см. рисунки ниже). Из соотношений коммутации вытекает также:
т.е., операторы повышения-понижения либо переводят базисные векторы в нуль, либо в другие базисные вектора, смещая их собственные значения в плоскости t, у как указано нарис. 9.1. В (9.21)}/, у"~ собственные значения "гиперзарядов"
t+ U-V = 0, u + v = \y, u=\y-^t, v = \y + \t.
(9.20)
V±\t,y)cc\t + \,y± 1 v±l,y),
U±\t,y)cc\t + ±,y±l) = \u±l,y"), /± I f, >;) ос |f+ !,>;),
(9.21)
F= j(/3-?/3) = /3-17, F'=f(-/3-Г3) = -/3-І7, 7 + 7-+7-=0.
Рис. 9.1
t
Всю совокупность собственных значений (у, t), а с ней и соответствующих им собственных векторов, образующих базис пространства НП, можно построить с использованием операторов сдвига, исходя из "старшего" вектора \tm, ут), относящегося к максимальному собственному значению Утал=Ут и к максимально возможному при ут значению tm. Очевидно,
161 Последовательное применение /_ к Itm,ym) приводит к /-спиновому мультиплету с
*т>Ут)> V т У т) ^ 1Atm^m), ->\-*т>У
I=tm:
Действием оператора LL на | tm, ут j получаем ^/-спиновый мультиплет с U=um=(3/4)ym-(rn)tm :
^m' Ут ) —
ит>Ут"=~*
т /' I **т
Эти два мультиплета изображены на рис. 9.2 отрезками, начинающимися в точке \tm,ут). Исходя из каждой точки
Угп/ ' •¦• > -"m>>0-
второго мультиплета, можно построить ^-мультиплеты, симметричные
относительно оси у (и v-мультиплеты, симметричные относительно оси у'). Исходя из точек первого мультиплета строятся и-, v-мультиплеты. Все множество получаемых точек (SU(3)-
мультиплет) оказывается обладающим симметрией C3v с центром в начале координат и осями симметрии у, у', у". Пример контура, ограничивающего множество собственных значений (t, у), также изображен на рис.9.2. Длины сторон получающегося шести- (или тре-) угольника, А, = 2tm, р = (ЪН)ут - tm, могут служить индексами НП группы [на рис. 9.2 изображена схема, соответствующая представлению (3,5)]. В случае, если "длины" t- и м-мультиплетов, начинающихся в точке tm, ут \, отличны от
нуля, точке
Рис. 9.2.
tm -Iy отвечают уже два независимых вектора, например, U-I-
\tт,ут], I-U-\tт,ут]. Исходя из этой точки можно построить еще один шестиугольник
со сторонами Я,' = Я,-1,ир'=р-1.
В неприводимом представлении (А,, р) каждой точке по периметру внешнего шестиугольника отвечает по одному состоянию, точкам по периметру шестиугольника со сторонами (к - 1, р - 1) отвечает по два независимых состояния. Можно строить
162 внутренние шестиугольники вплоть до вырождения их в треугольник [или в точку — начало координат — если исходный шестиугольник был правильным — (X, А,)]. При этом точкам на сторонах каждого шестиугольника отвечает на одно состояние больше, чем точкам на сторонах предыдущего. Все точки первого (наибольшего) из полученного таким образом треугольника (включая точки периметра) обладают одинаковой кратностью вырождения. Описанная выше система многоугольников для НП (3,5) воспроизведена на рис. 9.3. Исходя из него, нетрудно подсчитать число различных состояний (размерность представления), равную d(3,5) = 120. В общем случае:
d(X, р) = і (X + 1)(ц + 1)(Х + р + 2). (9.22)
Доказательство приведенных утверждений довольно громоздко; некоторые элементы его воспроизводятся в задачах к данному разделу (см. также книгу Газиоровича 1969). Отметим еще, что сопряжены НП, схемы которых получаются друг из друга поворотом на 180° около оси t\ (X, р) = (р, А,)*.
Связь двух введенных в этом параграфе обозначений НП: X = А,і - X2, р = X2, т.е., (X, р) = D^ + х' Иногда НП обозначаются просто своей размерностью (жирными цифрами). Так, неприводимый октет обозначается Z)(21) = (1,1) = 8.
