Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
[а(р,о), U+(P1rOr)] = 2р08о&8(р (8.75)
Часто множитель -Jlp0 вводят в определение операторов а+, а для упрощения правил
перестановки (исчезает множитель 2ро). Правила преобразования операторов вытекают из правил преобразования состояний (8.53):
D(a I L)a + (p,o)D-\a \ L) = ?eiLPaD^(B~lLBр)а+(р\ст'),
(8.76)
D(a I L)a(p,o)D-l(a \ L) = D^AB~p В
&
Вспоминая, что для вращений
D(s)(R) = D(s) *(R~l) = C(S)D(S)(R-l)C(s)~l , можно переопределить операторы рождения следующим образом:
(Р, р) = Z^sJ(C(s))a + (p,o) = (-l)s~pa + (p,-p), (8.77)
а
так что они при преобразованиях Лоренца меняются так же, как и операторы уничтожения. Операторы рождения и уничтожения в спинорном представлении:
at(P) = ZDxf (ВрУ+ (Р>°)> аУ,(Р) = YjDi^iBр)а(р,о)
а а
просто преобразуются под действием элементов группы Пуанкаре:
D(a I L)ai(p)D~\a \ L) = e±iLPa??>g?>(L~l)ef (p'),p<= Lp . (8.78)
Перестановочное соотношение для этих операторов:
к = X } (^jp (^jp' +(,P' )]
Va' (8.79)
= lp%(p--PlD^(B2p),
где учтено, что D^ (Bp ) — эрмитова матрица.
Операторы квантованных полей строятся как совокупности (инвариантные интегралы) операторов рождения и уничтожения частиц (и античастиц) с простым законом фазового преобразования ф(х) —» еі5ф(х) (симметрия относительно такого преобразования связана с тем, что наблюдаемые величины действительны и зависят лишь от комбинаций функций поля типа фф*):
146 ф* w=TTW ЯНг к №ipx+К (p)eip х}=
(2 л) J 2р"
У 7 F (8.80) (2л) 2 р 0
Преобразование операторов поля при преобразованиях Пуанкаре осуществляется естественным образом:
ГЦа I Z^(X)D-1Ce I L) = YD^(L-1^iLx+ а). (8.81)
Рассчитаем тот (анти)коммутатор операторов поля, который может отличаться от нуля:
[ф1(*),ф»]± -JLз J0D<ff ±е*<'-*}=
1
-D,
(JO)
(8.82)
Ґ : .\ - лЗ V У
(2л)3 Km Jj 2р
Lq±(-l)2V>^}
3 = —-— су--. После интегрирования по углам, интегралы в (8.82) выражаются через
- и
(8.83)
где учтены равенства (8.74), (8.68), ZFuX-I) = И) и введено обозначение
_3__д_
дх° °'дг
цилиндрические функции (см., например, Боголюбов и Ширков, 1956):
1 fd^-M-y) =1фо_уоШ)+ттШтЯ) +
(2л)3 J 2р 4лг 8лV^
+ /в(х° - у0 )J1 (тVX)] + Jnj_Q(^)K1 (/яVrX),
4л2V-Я
=--Г7в(*° -/)5(^) + -^0(^)^(^)-(2л)3 J 24лг 8лл/Я
-/в(х° -у0)J1 imVX)] + _0(-ОД(WVrX)
4л V-А,
где Я, = (х - у) , в — знаковая функция, 0 — ступенчатая функция Хевисайда (0 при отрицательных значениях аргумента и +1 при положительных).
В соответствии с принципом причинности выражение (8.82) должно обратиться в нуль для пространственноподобного интервала X = (х - у) <0. Согласно (8.83), это возможно лишь если положительно- и отрицательно-частотные интегралы в (8.82) вычитаются друг из друга — тогда исчезают слагаемые с 6(-Х). Таким образом, выбор коммутатора или антикоммутатора для перестановочных соотношений, т.е., выбор статистики частиц, обусловлен спином частиц: при полуцелом спине (-l)2s = -1, и следует выбирать антикоммутатор, статистику Ферми, при целом спине (-l)2s = 1, и
147 частицы являются бозе-частицами. Это известная теорема о связи спина и статистики частиц. Перестановочные соотношения произвольных полей вполне определяются соответствующей функцией для скалярного поля (функцией Паули-Иордана)'.
2т
(8.84)
[ф„(х),ф»]± =Dg\±8)D(x-y). (8.85)
Простейшие из полей — скалярные (s = 0) — преобразуются по представлению D(m0) группы Пуанкаре, если соответствующие частицы совпадают с античастицами (действительное скалярное поле, заряды равны нулю) и 2Z/m0-) в противном случае. Функции поля (полевые операторы) ф(х), ф*(х) подчиняются уравнению Клейна-Гордона:
1 52 л + А
2 а А
у C Ot
ф = W2 ф. (8.86)
2
Фактически это переписанное в координатах утверждение о том, что P является оператором Казимира, равным W2 на пространстве всех состояний частицы с массой т. Поэтому уравнению Клейна-Гордона подчиняются поля частиц (и античастиц) с любым спином. При w = 0 это обычные волновые уравнения, например, для потенциалов свободного электромагнитного поля.
Для двухкомпонентных безмассовых полей (s = 1/2, т = 0) уравнение Клейна-Гордона просто линеаризуется, поскольку в этом случае возможно представление ро2 — P = (ро + <ур)(ро~ <У-р), и мы приходим к уравнению Вейля:
(lo, + G-vV = 0. (8.87)
Два знака в этом уравнении соответствуют частице (нейтрино) и античастице. Уравнение Вейля неинвариантно относительно пространственной инверсии.
В случае т Ф 0, s = 1/2 можно получить линейное по производным уравнение Дирака, объединяя два представления соответствующих частице и
античастице, 2D(m'm) = Z/m'0)x(Z)n/2'0) + D(0'm)). Симметричная форма уравнения Дирака для 4-компонентной спинорной функции V)/:
148 (8.88)
Отметим, что выше мы фактически нашли решения упомянутых (и неупомянутых) здесь уравнений поля прямым построением пространств НП группы Пуанкаре, относительно которой уравнения поля инвариантны.
Практически все эксперименты с элементарными частицами можно описать в терминах рассеяния частиц или волн. Начальные состояния (падающие волны, ш-состояния) и конечные состояния (расходящиеся волны, out-состояния) натягивают гильбертовы пространства Hin и Hout, соответственно; они описывают совокупности свободных (невзаимодействующих) частиц и могут быть построены как пространства представлений группы Пуанкаре. В соответствии с аксиомой асимптотической полноты любое состояние системы является элементом этого пространства, т.е., эти пространства полны и совпадают: Щп = Hout = Н. Оператор рассеяния S вызывает переход между (нормированными) in- и out состояниями: |vj/out) = ?|фіп). Соответствующая унитарная матрица S называется матрицей рассеяния; SS+=S+S=E. Матрица рассеяния подчиняется правилам сверхотбора, она распадается на блоки в соответствии с разложением H на когерентные пространства, не вызывая переходов между ними. Кроме того, она релятивистски инвариантна, D(a\L)SD~\a\L) = S, т.е., коммутирует с инфинитезимальными операторами группы Пуанкаре. Это приводит, в частности, к сохранению импульса в результате рассеяния, [рц(0 - рц(/)]% = 0. Удобно ввести Т-матрицу следующим образом:
