Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
который, как легко убедиться, используя (8.44), коммутирует со всеми компонентами
2 Ct
импульса. Поэтому квадрат его, W = WaW является инвариантом группы Пуанкаре. Пространственные компоненты векторов во второй строке формулы (8.48) заданы своими контравариантными компонентами. Из определения W^ вытекает: WP=W^Pil=Q.
При преобразовании Пуанкаре неизменен также знак компоненты P 0 любого времениподобного вектора P (Р > 0):
е = Р°/\Р°\. (8.49)
Отметим еще нерелятивистские аналоги инфинитезимальных операторов и
коммутационных соотношений для них. Переход к галилеевой группе осуществляется
посредством замены Ъ => v/c и последующим переходом к пределу с —» оо. Вместо (8.42)
получаем
(a|G(?,v)) = E +iJ^+ (i/c)N.v + i(cP0)t- iP.a (8.50)
(J, N, P — ковариантные векторы). Генераторы, отвечающие скорости у, N' = N/c; соотношения коммутации (8.36) сохраняются без изменений, за исключением второго из них, [N'i, Nj] = -(i/c )Zyk Jk —> 0. Генератору сдвига во времени в нерелятивистской
физике соответствует (нерелятивистский) гамильтониан (энергия) системы Н\ при
2 2
предельном переходе для отдельной частицы сРо —> Mc + Mv /2 (ср. (8.15)). Поэтому и
для произвольной системы в нерелятивистском случае следует сохранить связанный с
^ 2 2 массой покоя вклад в энергию Mc : сРо —> Mc + Н. Таким образом, изменения в
коммутаторах (8.43) следующие:
[Pu Nj] = -іЬуМ, [N't, Н] = iPi. (8.51)
1388.6. Унитарные неприводимые представления группы Пуанкаре
Наличие в группе Пуанкаре инвариантной абелевой подгруппы трансляций позволяет строить НП по аналогии с НП пространственных групп (раздел 6). В (гильбертовом) пространстве представления выбираем базис, диагонализующий операторы трансляций, а значит, и импульсы; поэтому можно говорить об импульсном представлении:
D(a)\pQ = exp[i(p°a°-p.a)]\pQ; P >Q =р »\pQ. (8.52)
Здесь С означает все дополнительные квантовые числа, характеризующие базисные векторы (состояния). По аналогии с (6.9) убеждаемся, что вектор D(L)\pQ также
является собственным для импульса и относится к собственным значениямр'а = Laр/Д
2 0 2 2 2 Значение оператора Казимира P (8.47) на функциях (8.52) равно р - р = т (в
релятивистской механике т — масса покоя "частицы"), так что величина т играет роль
индекса "неприводимой звезды" представления. Для физики представляют интерес
лишь значения т > 0 и т = 0 (времениподобные и изотропные "импульсы"). Энергия
частиц р° в пределах НП не меняет знака и считается положительной.
При т > 0 в качестве исходного "луча" целесообразно выбрать 4-импульс рт=(т,0,0,0), инвариантный относительно всех трехмерных вращений R3. Этот луч соответствует состояниям частицы в системе покоя. Пользуясь вытекающим из (8.8) разложением на смежные классы
L+T = ТьВ(Ь) R3,
в качестве элементов, порождающих остальные "лучи", можно выбрать чистые бусты. На множестве векторов \pm,Q индуцируется (малое) представление группы R3, которое, очевидно, должно быть неприводимым, если неприводимо исходное представление группы Пуанкаре. Поэтому в число индексов C1 входят спин s (величина момента покоящейся частицы) и проекция его на ось z — о. Остальные квантовые числа С могут относиться к внутренней (не связанной с пространством и временем) симметрии частицы.
Значение второго оператора Казимира, W , в состоянии \pm,s,o,C), а значит, и в других состояниях пространства НП, равно m2s(s+1). Сам псевдовектор W ц на этих состояниях фактически совпадает с вектором спина:
W0 = 0, Wi = -mJi = TnJi. Таким образом, НП группы Пуанкаре однозначно характеризуются индексами т, s, (D(m'^), а базисные векторы пространства представления можно выбрать в виде
\p,o,Q) = frms\Bp)\pm,s,o,Q).
0 / 2 2
Энергия соответствующего состояния равна р = д/ т + р .
139Запишем результат действия на базисный вектор произвольного оператора представления:
DimsXa^bmo) = exp(ір'-а) I,a'D(s)&a(R^f))]p',of), (8.53)
гдер' = Lp, а вращение Rft1') находится из соотношения L(E^b)B (bp) = B(Pp)Ri^r). Через В(ЬР) обозначен буст, порождающий луч (р°, р); очевидно, bp = (p/|/>|)asinh(|p|/m) (см. (8.9)).
TT 2
Пусть теперь т = 0. В качестве представляющего (исходного) луча возьмем р0 =
(1,0,0,1). Этому 4-вектору отвечает эрмитова матрица P0
инвариантная относительно преобразований (8.17) с
f\ O^
VO OJ
матрицами
(см. (8.16)),
вида
Л =
„га
о
.1(1
о
о
-га
V1 ^
о
1
образующими трехпараметрическую
подгруппу SL(2). Эта подгруппа, в свою очередь, содержит двухпараметрическую
fl ?^ Io ъ
абелеву подгруппу матриц вида
изоморфную группе трансляций плоскости
(соответствующие преобразования Лоренца обозначим L(?)), и подгруппу вращений в плоскости. Таким образом, малая подгруппа есть группа движений евклидовой плоскости; построение ее НП напоминает начальную часть настоящего параграфа. В пространстве унитарного представления (унитарные) операторы подгруппы L(?) можно
диагонализовать на векторах \ра,к,С), относящихся к собственным значениям ехр(-/А.а),