Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аминов Л.К. -> "Теория симметрии (конспекты лекций и задач) " -> 57

Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.

Аминов Л.К. Теория симметрии (конспекты лекций и задач) — М.: Институт компьютерных исследований , 2002. — 192 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasimmetrii2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 67 >> Следующая


Фундаментальное представление осуществляется на векторах (независимых

состояниях) е\, в2, ез; и с ним можно связать одноклеточную "схему" Юнга ^ .

Г1 0 0I 0 л/2 0I
0 0 0 > S+ = 0 0 л/2
0 -К 0 V 0 0 /

157 Представление тензорами второго ранга распадается на симметричную ( '—'—' ) и

?

антисимметричную ( ) части. Первое из этих НП осуществляется на шести комбинациях пар еге/:

11

= Є\Є\', е2е2', Є3Є3', Є\Є2 + еге\, еіез' + Є3Є1е2ез'+ е3е2'

а второе — на трех антисимметричных комбинациях:

~2\ IT

/1 = Є2Єз'-ЄзЄ2'= ^J2 = Є зЄі'-ЄіЄз'= ,/з = еіе2'-е2еі' = Пусть и є SU(3) и D(u)ei = Тм]іЄ] ; нетрудно проверить, что

DWi = ZiZ-1U=

(9.13)

В

т.е., трехмерное представление 1 осуществляется комплексно-сопряженными матрицами, и —» и*. Фактически, это представление тоже можно считать фундаментальным.

27-мерное тензорное представление расщепляется на 10-мерное НП Illl (функции 111 = eiei'ei", 112 = еіві'е2" + eie2'ei" + e2ei'ei", 113, 122, 123, 133, 222, 223,

233 и 333), одномерное — и два эквивалентных 8-мерных НП . Два октета функций можно получить, либо производя вначале симметризацию по паре индексов, скажем, двум первым, а затем антисимметризуя по первому и третьему индексу, либо меняя порядок симметризации и антисимметризации (естественно располагать индексы в строках и столбцах в порядке возрастания слева направо и сверху вниз): Первый набор:

1 1
2

Є\Є\Є2 - Є2Є\Є\",

1 1
3

Є\Є2Є2" -Є2Є2Є\",

= Є\Є2 Єт, + Є2Є\ Єз -

егег'е"-еге\ег,

1 3
2 =
2 2
3

= еіе3'е2" + е3еі'е2"- е2е3'еі"- е2еі'е3"

= ЄіЄз'Єз" - ЄзЄЗ'ЄІ"

е2е2'ез" - ЄзЄ2'е2",

Є2Єз 'ез " - Є3Є3 'е2".

(9.14)

Второй набор (те же таблицы, вначале антисимметризация по двум первым индексам, размещенным в первом столбце):

158 2е\е2е" - Є2Є\Є\" - Є\Є\Є2, 2е\е3е\' - е3е\е\" - е\е\е3", е\е2е2 - 2е2е\е2" + е2е\е2",

Є\Є3Є2 - Є3Є\Є2 + Є2Є3Є\ - Є2Є\Є3", Є\Є2Є3' - Є2Є\Є3' + Єз,Є2'Єі" - Є3Є\Є2, Є1Є3Є3" -

2езеі'ез" + Є3Є3 'е\", 2е2е3е2 - е3е2'е2" - е2е2'е3", е2е3е3' - 2е3е2е3" + е3е3е2 . (9.15) Эти наборы натягивают два взаимно-ортогональных 8-мерных пространства, однако внутри набора четвертый и пятый вектора неортогональны. Их можно

ортогонализовать, выбирая, например, вместо l^j вектор 2е\е3е2' - 2е2е3е\' + е\е2е3" - е3е2е\' + е2е\е3 - е3е\е2 (в первом наборе). Отметим, что пары соответствующих векторов из двух наборов осуществляют двумерное НП групп Рз.

Переходя к тензорным представлениям более высокого ранга, заметим, что не существует НП, описываемых схемами, содержащими более трех строк (например,

), поскольку в нашем распоряжении только три индекса 1,2,3, и антисимметризация по четырем индексам приводит к нулевому результату. Аналогичный довод свидетельствует о возможности отбрасывания в схемах с тремя строчками столбцов,

содержащих три клетки. Например, представление "-" эквивалентно представлению

^ . Таким образом, существенно разными являются НП, описываемые схемами с

двумя строчками, и их можно индексировать двумя индексами, как где > X2

— длины первой и второй строчки схем. Тензорное представление четвертого ранга расщепляется на следующие НП:

?

Dm (ЕЕ

),Д(31)(

), Д(Ш)( D )¦

), Z)(22)(

Кратность, с которой эти НП входят в тензорное представление, определяется размерностью соответствующих схемам Юнга неприводимых представлений самой группы перестановок Р4. Так,

(Z)noV = d<40) + 3 Z)(31) + 2 Z)(22) + 3 Z)(10). Двустрочные схемы, дополняющие друг друга до трехмерных схем с равными длинами строк, соответствуют комплексно-сопряженным представлениям. Выше уже

отмечалось, что для фундаментальных представлений

B = D

. Еще примеры:

159

= ^* в

Вообще, самосопряжены НП, которым соответствуют схемы, вторая строка которых наполовину короче первой.

Теперь мы рассмотрим альтернативный способ построения НП группы SU(3), аналогичный использованному для группы вращений (SU(2); см. раздел 4.3). Он обеспечивает наглядное введение понятий об I- (изотопическом), U- и V- спинах. В этом способе мы исходим из базиса в пространстве представления, диагонализующего коммутирующие друг с другом инфинитезимальные операторы (отвечающие, например, операторам А,з и из набора (9.2)), а затем устанавливаем связи между базисными векторами, вытекающие из соотношений коммутации инфинитезимальных операторов. Предварительно сгруппируем инфинитезимальные операторы Fa(XJ2 —» Fa) в три тройки "спиновых" операторов, так чтобы внутри тройки операторы подчинялись обычным соотношениям коммутации для компонент момента количества движения:

I(FhFbF3), V(F4,F5,F,% U(F6,F7,Fs"),

Fs +^8, + ^8 • (9-16)

.'-If. Fo"=-4

2 8 8 2 J 2

В дальнейшем будем использовать обозначения I\, I2, h для компонент "спинов", а

2

также обозначение Y = -^F8 (гиперзаряд), так что

V з

Fti=ITi= F8'—F8"= F3-U3, ^F8 =F3+U3 =^Y. (9.17)

Вводя еще операторы повышения-понижения Ft = Fi ± іF2 и др., выпишем соотношения коммутации инфинитезимальных операторов, используя уже найденные структурные коэффициенты (9.9):
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed