Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
' ~ (8.11)
f=t l^l-v2 Ic2.
Замедление времени тем заметнее, чем ближе v к с.
Рассмотрим теперь два события (0,0,0,0) и (0, х ',0,0) (измерение длины движущейся линейки). Из (8.10) находим:
t = -vx/c2, Jt1=JtVl-V2/с2, (8.12)
что можно трактовать, как сокращение расстояний в движущемся объекте.
Рассмотрим еще физическую систему, движущуюся относительно установки со скоростью V (вдоль оси х), так что ее мировая линия определяется вектором (ct, Vt, 0,0). Если теперь сама установка движется со скоростью v, то
?=
t + vVt/c Vl-V2Zc2
Jt =
Vt + vt (V + v) Vl-V2Zc2 "l + VvIc7
¦t\
(8.13)
т.е., система движется относительно исходной системы отсчета со скоростью V'=( V+v)/(1 + Vv/с),
никогда не превышающей с.
При малых скоростях движений V, v « с можно воспользоваться приближением sinho = tanho = b = v/c, cosho = 1 и бусты переходят в преобразования Галилея
t = t', r' = r + vt. Соответственно, группа Пуанкаре переходит в группу Галилея — группу симметрии законов нерелятивистской механики. На
символическом графике пространства-времени (см. рис.) изображен световой конус (г = ± et), образующие которого являются мировыми
130 линиями луча света. Все точки верхней половины конуса (изотропные векторы), исключая начало координат, можно получить друг из друга преобразованиями Лоренца. Времениподобные векторы, связанные преобразованиями Лоренца,
изображаются гиперболоидами, лежащими внутри конуса. Концы пространственно-
2 2
подобных векторов
располагаются на гиперболоидах, охватывающих световой конус. Переход к нерелятивистскому приближению можно представить как
увеличение угла раствора конуса до 90°, исчезновение области пространственноподобных векторов и вырождение времениподобных гиперболоидов в плоскости.
На рисж показаны различные системы координат на плоскости (t, х) (лоренцевы преобразования как изменение системы координат). Напомним еще некоторые часто употребляемые в специальной теории относительности 4-векторы. 4-скорость и 4-ускорение частицы:
= dx^/ds, = du^/ds, и2 = 1, = 0, ds = cdt^l-v2 /с2 . (8.14) 4-импульс частицы:
р = тси, р1 = wvVVl-v2/c2 , р° =mc/Vl-v2/c2 = Е/с. (8.15)
8.3. Гомоморфизм двумерной унимодулярной группы на группу Лоренца
При изучении группы вращений оказалось полезным выявление гомоморфизма SU(2) —» R3. По отношению к специальной группе Лоренца роль накрывающей группы играет группа SL(2,Q. Рассмотрим эрмитову матрицу второго порядка, однозначно связанную с 4-вектором х:
X <-> X =
ґ о 3 1 • 2 >\ Л , • .2
0 12 3
= х е +X G1+ X Ct2+ X ст3;
(8.16)
detX = (х0)2 -(х1)2 -(х2)2 -(х3)2.
Пусть Л
а ? у 8
є SL(2,Q, т.е., а8 - ?y = 1. Тогда матричное преобразование
X' = ЛХЛ+, det X' = (х0)2 - (х1)2 - (х2)2 - (х3)2 = det X
(8.17)
131 соответствует однородному линейному преобразованию Z в пространстве-времени, сохраняющему релятивистскую "длину" векторов: Л —» L, х' = Lx, (Lx, Lx) = (х, jt). Полагая е = Сто и учитывая, что матрицы Паули удовлетворяют соотношениям
CT/CT; = ISijkOk + буСТо, СТ/СТу + CT7-CT/ = 28//, SpCTaCTp = 28a?, (8.18)
получаем
х'а = 1^(стаХ')-|^(стаЛХЛ+) = 1^(стаЛстрЛ+)хР =ZVp- (8-19)
Как и в разделе 4.4, устанавливаем, что det Z = +1; кроме того, Z0о = (l/2)Sp(AA+) > О,
О T
сопоставляя с (8.4), имеем L $ > 1. Таким образом, Z — элемент группы L+ , и
T
отображение A —> Z является гомоморфизмом SL(2,C) —> L+ с ядром ±е.
Если ограничиться унитарной подгруппой группы SL(2), то A+= Л-1, х' 0 = Jt0, и мы возвращаемся к уже известному нам гомоморфизму SU(2) —» R3. Любая унитарная унимодулярная матрица второго порядка имеет вид:
и = е~ш =еД™)ф/2 =CT0cos((p/2) + Z-(CT-«)sin((p/2), (8.20)
2 2
что соответствует повороту на угол ф около оси я [я = 1, (ст-я) = Сто = е, отметим: ст-я-Vcto].
Любая эрмитова матрица /zeSL(2.C) может быть записана в виде
± h = ехр[-(ст-я)й/2] = CT0cosh(?/2) - (CT.«)sinh(6/2), (8.21)
что соответствует бусту вдоль оси я со скоростью v = c tanhZ). Представлению (8.8) преобразования Лоренца соответствует представление произвольной матрицы AeSL(2) в виде произведения эрмитовой и унитарной матриц:
А = hu, где h1 = AA+, и = (AA+)-172A. (8.22)
Используя комплексный 3-вектор а, можно представить элемент группы SL(2,C) в форме
А = ехр(ст-а/2) = cosh \ Vct^ + sinh \ л/сЛ (8.23)
A I *-) А
t
Гомоморфизм SL(2,Q —> L+ и соотношения (8.20) — (8.23) обеспечивают различные параметризации группы Лоренца и связи между наборами параметров.
Имея в виду связь (8.16) между 4-векторами и эрмитовыми матрицами второго порядка, можно трансляции в пространстве-времени представить как сложение эрмитовых операторов: х' = х + а <-> X' = X + А. Соответственно, элемент группы
132 Пуанкаре отображается парой матриц второго порядка (гомоморфизм 04|Л) —» (a\L)) с законом умножения
(^і|Лі)(Л|Л2) = (A1 + A1A2A1^A1A2). (8.24)
Пару (А|Л) можно считать оператором на множестве эрмитовых матриц:
(AjA)X= AXA++ А. (8.25)
8.4. Спиноры и спинорные представления группы Лоренца
