Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
154объединения в одном мультиплете фермионов и бозонов (см. Барут и Рончка, 1980; Kaku, 1996).
Мы рассмотрим ниже применение унитарных групп SU(«) к классификации адронов и кварковым моделям в отрыве от группы Пуанкаре, по существу, на эмпирическом уровне.
9.2.Группы SU(n). Инфинитезимальные операторы групп
Произвольная унитарная матрица порядка п может быть представлена в виде
u — exp(-iH), где H — эрмитова матрица; фактически такое представление осуществляется, например, путем перехода к базису, в котором матрица и будет диагональной. Запишем H в виде H = (1 In) SpH + H' (т.е., SpH' = 0); это соответствует написанию и в виде и = (det u)Vnu\ где и' є SU(r). Таким образом, произвольный элемент группы SU(tz) записывается в виде и = ехр(-Ш), где H — бесследная эрмитова матрица. Выбирая базис Ha в пространстве бесследных операторов, H = Нара, получаем возможность параметризовать группу SU(«) набором координат {ра}. Удобно (но не обязательно) выбрать базис из эрмитовых матриц На\ соответствующие п — 1 параметров ра будут вещественными, a Ha является инфинитезимальной матрицей, отвечающей параметру ра в фундаментальном представлении — автоморфизме SU(«) —» SU(r). В приложениях обычно используются матрицы Ha, напоминающие матрицы Паули для двумерных "плоскостей" в я-мерном пространстве. Например, для группы SU(3) используется параметризация и(р") = ехр(-іХе1р") с матрицами:
rO 1 о4 Го - і On rI 0 0N Го 0 г
X1 = 1 0 0 ? X2 = і 0 0 , X3 - 0 -1 0 , X4 — 0 0 0 ?
V0 0 0 0 ,1 0
Го 0 - л I Го 0 0' Го 0 0' 1 TT Г1 0 0 N
Ul Il 0 0 0 5 - 0 0 1 Il 0 0 - і 5 Xg = 0 1 0
J 0 0 / 1 0, і 0 -2,
Эти матрицы взаимно ортогональны и одинаково нормированы относительно скалярного произведения
(А,В) = SpA+B-. SpXaXi = 28аЬ. (9.3) Поскольку любую матрицу можно разложить по базисным, то
^Ab = (fabele + ^абсЛс + § (9-4)
155где структурные коэффициенты fad вещественны. Поскольку XbXa=(XaXb)+, коэффициенты fabc антисимметричны по индексам а,Ъ\ а dabc симметричны по этим индексам. Очевидно,
[А,аДй] = IifabcK, {КХь} = IdabcK + (4/3)5ай. (9.5)
С учетом (9.4),
fabc = (1/40 SpdKMKX dabc = (l/4)Sp({Xa,^}Xc), (9.6)
откуда вытекает симметричность dabc и антисимметричность fabc по всем индексам.
Сказанное очевидным образом распространяется на произвольные порядки SU(r). Для написания инфинитезимальных матриц в общем виде целесообразно несколько усовершенствовать их обозначения:
Kf =т?+Ti, Kk2 =-іт*+іЦ, Xk3=.
к(к +1)
к
k+i
YJi ~ктк+і
V 1
(9.7)
?
где Ti — проективные матрицы с одним единичным элементом в /-о й строке и к-м столбце, і < к, 1 < к < п - 1. Соотношения (9.3) — (9.6) при этом не меняются. Из
Ic
величин X3 можно скомбинировать аналоги матрицы Паули аз :
Xjk=Tik-Tki. (9.8)
Очевидно,
1І2 _ лі л12 ,оі23_ /^2 ^ 12 ,0^23 . 1Лк,к+\ _ \к(к+ 1) к a3 = a3 ? a3 ~г a, а 3 — 3 3 " •'^'3 — л - 3'
)к,к+1_ k + Кк Ь-U-I
Кроме того, Xlk =X1^+1 +X1^+2 + ... + Хк3~1,к, что обеспечивает полную систему соотношений, позволяющих выразить я (я-1)/2 линейно-зависимых величин XJk через независимые матрицы X3 . Тройки матриц ^1,2,3^ обладают свойствами умножения, коммутирования и антикоммутирования, присущими матрицам Паули Сті;2,з-
Представление инфинитезимальных операторов через проективные позволяет единообразно вычислить структурные коэффициенты, поскольку
TlkK=SkmT?, Tk=^(Xik + iKk), Ti=^(Kk-IKk)JKk,
Tu = хк/+] +... + К1'1" +Т"=±Ё+ —--XX1 +
к 3 3 п п Al 2/2 (л — 1) 3
1 -^2 ктАт^з - , 4-1-
2(п-\)(п-2) "' у 2(к + \)к ^2к(к-1)
156В новых обозначениях матрицы (9.2) для группы SU(3) выглядят так:
^ _ ^ 12 ^ _ ^ 12 ^ ___ ^ ^ _ ^ 13 ^ _ ^ 23 ^ _ ^ 23 ^ _ ^ 2
Al — Ai ,K2- K2 , Хз — A3 , A4 — Лі , А5 — K2 , Kf>—к\ , Kj — K2 , К%— A3.
Структурные коэффициенты для группы SU(3) вычисляются в задаче 9.1; приведем здесь коэффициенты fabc'.
/123 = 1, /147 = -f\56 =flA6 =fl51 =./345 = -f$61= 1/2, 7458 =^678 = л/3 /2. (9.9)
Остальные коэффициенты/^ равны нулю.
В качестве базиса для написания матриц H (и других матриц тоже) естественно использовать также набор матриц, включающий недиагональные проективные матрицы:
в-=т^-\ъ1кЁ, ZbI = O. (9.10)
Очевидно, соотношения коммутации Bi такие же, как и матриц Ti. Из этих величин можно составить два оператора Казимира:
C2=YjB^Bik, C3 = YjB^B1kBl, (9.11)
і,к і,к,I
которые, как нетрудно проверить, коммутируют со всеми Bi .
Существует также базис из "неприводимых сферических операторов":
Е\ Sz, S+; S+, S+Sz + SzS+, S(S +1) — 3Sz;
fa ^
(9.12)
Базис (9.12) ненормированный. Он очевидным образом распространяется на случай произвольных п.
9.3. Неприводимые представления группы SU(3)
Группа SU(3) — непрерывная компактная 8-параметрическая группа, все ее представления эквивалентны унитарным. Неприводимые унитарные конечномерные представления могут быть построены как представления тензорами (на трехмерном унитарном пространстве) с определенными свойствами симметрии относительно перестановки индексов. Подробнее о связи представлений групп перестановок и представлений групп линейных преобразований говорилось в седьмом разделе, здесь мы приведем несколько простых примеров.