Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
1 2
где а — двумерный вектор, отвечающий комплексному параметру ? = a + ia .
Учитывая, что
0
0
1 ? 0 1
0
о
Ja.
1 ?e' 0 1
нетрудно убедиться, что
пространство малого представления включает все векторы |p0,k',Q с |А'| = |А|, (к — инвариант малой группы) и при к Ф 0 оно бесконечномерно. Такие представления в физике не рассматриваются (они могли бы соответствовать частицам с бесконечным, даже непрерывным спином), положим поэтому А = 0. Теперь векторы Ip05Q должны осуществлять НП однопараметрической группы поворотов около оси z, т.е., это векторы типа Ip0, К), где h — целое или полуцелое число — собственное значение компоненты момента Jz частицы (спиральность). Напомним, что по оси z направлен исходный луч — импульс р0 частицы.
140 Далее, произвольный изотропный вектор р = (р°, р) можно получить из р0 в два этапа: буст вдоль z с bpo = In р° и поворот около оси п _L р, z на угол 0 = Z(p,z). Положим D(R(n,Q)B(bpoez))\pa,h) = \p,h). Результат действия произвольного оператора представления на базисные векторы:
D(ok\a\L(^b))\p,h) = exp(ip'-a - ihq>)\p',h), (8.54)
где сновар' = Lp, а угол ф определяется из соотношения
L(^b)L(nQ,0)L(0,bpoez) = L(nre',0)L(0,bpVez)L(q>ez,0)L(?).
Оба оператора Казимїфа P 2 и W 2 принимают в НП Dm) нулевые значения (при вычислении W\ 2 \Ро, h) следует учесть, ЧТО Ip0,h) относится к нулевому собственному значению к = О инфинитезимальных операторов TVi - Ji, - Ji - N2, отвечающих параметру ? = а\ + ia2, см. задачу 19). Отметим еще, что (W - hP)\p0,h) = 0, откуда вытекает, что в представлении //0Л) векторные операторы W и P пропорциональны друг другу с коэффициентом h:
W = hP. (8.55)
Пространственная инверсия P коммутирует с вращениями, меняет знак направления буста и пространственной части вектора трансляции:
Р(а°,аиШ = (a0,-a\L(^, -Ь))Р. (8.56)
Включение ее в группу симметрии удваивает число НП типа классифицируя их по четности:
D(ms±\l)\pa±) = ± I-pG±). (8.57)
Инверсия не входит в группу вектора (1 0 0 1), переводя его в (1 0 0 -1). Поэтому она объединяет два НП Dm и D(0~h) с h * 0 в единое НП Dm\ причем
D(I)\ph) = \-p,-h). (8.58)
Включение обращения времени, как уже отмечалось в разделе 5, связано с введением антиунитарных операторов и копредставлений. Подробнее вопросы, связанные с отражениями, обсудим ниже.
8.7. Спиральный и спинорный базисы НП группы Пуанкаре с т2 > О
Канонический базис НП группы Пуанкаре определялся посредством полного набора взаимно коммутирующих наблюдаемых (в скобках указаны соответствующие собственные значения):
P2 (т2), Pil \р°, р, (р°)2 -р2 = т2], W2 [m2s(s+1)], S3 (а). (8.59)
141 Векторы канонического базиса |т, р, s, a, Q = |р, а, Q (квантовые числа С связаны с возможной внутренней симметрией частиц) взаимно ортогональны, и их нормировка определяется соотношением
(p' ст Qp о Q = 2P0 8(р -р') , (8.60)
которое естественным образом согласуется с релятивистски инвариантным условием полноты базиса:
1 = ZJl pv)dApb{p2-т2Жр°)(ро \= XJl I- (8.61)
CS CS ^P
С учетом (8.60) оператор (8.61) действительно переводит любой базисный вектор в себя, т.е., является единичным оператором. Произвольное состояние частицы разлагается по базисным состояниям следующим образом:
I^Xjl/w^vfoa), (8.62)
CS ^P
\\і(р,о) — волновая функция частицы в каноническом представлении (базисе).
Спиральный базис отличается от канонического тем, что в полном наборе наблюдаемых (8.59) вместо S3 фигурирует спиральность — проекция спина (и полного момента в этом случае) на направление движения частицы:
^s1P.= Jiz (8 63)
\Р\ \Р\
Оператор h коммутирует со всеми вращениями и трансляциями. Он, как и Si, принимает значения от -s до +s. Построить спиральный базис можно следующим образом. Буст вдоль оси Z 5(0, 0, р3) переводит базисные векторы \рт s a = К) малого представления
0 3
для исходного импульса рт = (т 0 0 0) в базисные векторы для импульса (р 0 0 р ), не меняя h, а последующий поворот этого вектора с p\\z позволяет получить векторы, соответствующие всем значениям импульсов р. Таким образом,
]р, h,C) = D(R(^))D(B(0, 0, ръ))\рт, а (Щ, Q, (8.64)
где р = \р\, а вектор поворота Lp _L z, р, по величине равен углу между осью z и р (Zp = ezy.p/\p\\ еслир направлен против оси z, то 1? = л).
Отметим, что в отличие от случая безмассовых частиц, спиральность при т > 0 не является сохраняющейся величиной. Для частиц с нулевой массой (в отсутствие инвариантности относительно пространственных отражений) спиральность сохраняется, два знака спиральности соответствуют двум разным частицам.
142 Определенным неудобством канонического (и спирального) базиса является то, что при преобразовании Пуанкаре базисного вектора вращение в спиновом пространстве частицы зависит от ее импульса (см. (8.53)). Спинорный базис свободен от этого недостатка, но достигается это усовершенствование за счет утраты ортогональности базисных состояний. Определяется он через канонический базис |р,о) следующим образом:
