Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Диаграммная техника может быть использована для разложения произведения двух НП группы SU(3). Вся совокупность векторов пространства представления (А,і, рі)х(Я,2, Р2) изображается точками, получающимися в результате наложения одной из диаграмм, скажем, (X2, ц2), своим центром на каждую точку второй диаграммы. Затем, начиная с состояния | tm = t]m + t2m, ут = У\т + у2т) из полученного множества
точек последовательно выделяются подмножества, отвечающие НП, с учетом изложенных выше правил о кратности вырождения каждой точки. От естественного
базиса
Рис.9.3.
,(і), ,0)
,(2)^(2) , к каноническому можно переходить последовательным
действием операторов повышения-понижения — процедура, естественно, в общем
163 случае значительно более громоздкая, чем в случае группы вращений, но при небольших размерностях перемножаемых представлений вполне обозримая.
На рис. 9.4 представлены графические изображения фундаментальных представлений 3, 3* (кварки) и барионного октета.
9.4. Классификация адронов по 8и(3)-мультиплетам. Нарушение
8и(3)-симметрии
Адроны — частицы, участвующие в сильных взаимодействиях — подразделяются на барионы и мезоны. Барионы обладают полуцелым спином, к ним относятся протон и нейтрон и большое число частиц, считающихся их возбужденными состояниями. Мезоны обладают целыми спинами и, в основном, меньшими массами.
Адроны группируются в близкие по массе изомультиплеты, а довольно близкие по массе изомультиплеты группируются в 8и(3)-мультиплеты, что, как отмечалось выше, свидетельствует о наличии приближенной внутренней 8и(3)-симметрии сильных взаимодействий и частиц, в них участвующих. На рис. 9.4 приведена схема барионного SU(3)-OKTeTa, состоящего из (р,и)-изодублета (приближенная масса частиц, соответственно, 938.3 и 939.6 Мэв; протон стабилен, время жизни нейтрона т ~ IO3 с), Х-изотриплета (масса 1193 Мэв, т ~ IO-10 с, для I0 т < IO-24 с), изосинглета A0 (1115.6 Мэв, 2.5 Ю-10 с) и изодублета S"'0 (1318 Мэв, IO"10 с). Спины всех частиц равны 1/2, внутренняя четность положительная. Как видно, о близости масс можно говорить лишь весьма условно, силы, нарушающие симметрию, велики ("умеренно сильные" взаимодействия). Приведем еще схемы барионного декуплета и мезонного октета (рис. 9.5). Массы четырех изомультиплетов, на которые расщепляется барионный декуплет, составляют, соответственно, начиная с А-частиц, ~ 1232, 1385, 1533, 1672 Мэв, спин частиц 3/2, внутренняя четность — положительная. Мезонный октет включает триплет пионов (т ~ 138Мэв), изосинглет г|° (549 Мэв), два дублета K-
164 мезонов 495 Мэв). Спины всех мезонов изображенного октета равны 0. Мезонная схема содержит частицы и античастицы, занимающие диаметрально-противоположные позиции.
Таким образом, при учете лишь "сильной части" сильного взаимодействия симметрия адронов описывается группой P х SU(3) с НП (/ns;(A,p,)). Под действием "умеренной части" сильного взаимодействия 8и(3)-мультиплет расщепляется на изомультиплеты, характеризуемые величиной изоспина и гиперзаряда, наглядно видные на схемах мультиплетов. Дальнейшее расщепление изомультиплетов по массе происходит за счет электромагнитного взаимодействия.
Рассмотрим массовый оператор M такой, что (vz| M |vz), где v — индекс представления (например, ms;Ck\i)), а і — индекс отдельного состояния. (Часто рассматривают и оператор квадрата массы.) При учете "сильной части" сильного взаимодействия оператор M 8и(3)-симметричен. Нарушение этой симметрии (при включении умеренно-сильного взаимодействия) приводит к появлению в M слагаемых с более низкой симметрией [SU(2)xU(l)], которые можно представить в виде ряда по неприводимым тензорным операторам группы SU(3), составленным из инфинитезимальных операторов и различных их степеней. Среди линейных и квадратичных тензорных операторов существует всего два независимых неединичных оператора, обладающих симметрией изотопического спина [SU(2)xU(l)], а именно,
Операторы Da определяются как
Da =^YdabcFbFc, (9.23)
Ъ,с
165 где структурные константы d определены в ур. (9.6). Эти операторы подчиняются тем же перестановочным соотношениям, что и Fa, т.е., они образуют подобный Fa октет операторов, на которых реализуется НП (11) группы SU(3). Полагая, что указанные октетные вклады в M являются основными, получаем известную массовую формулу Гелл-Манна - Окубо, описывающую расщепление 8и(3)-мультиплетов на изомультиплеты:
В третьем слагаемом можно исключить общий сдвиг изомультиплетов, добавляя
"треугольных" представлений [(А,0) или (Op)] третье слагаемое сводится к линейному члену, и поэтому можно ожидать линейного по Y расщепления барионного декуплета (рис. 9.5). Действительно, интервалы между соседними (по У) изомультиплетам составляют «150 Мэв. Более того, Q--частица была обнаружена лишь после создания излагаемой здесь теории, и предсказание ее свойств явилось важным подтверждением 8и(3)-симметрии и толчком к дальнейшему ее развитию. Массовая формула (9.24) хорошо описывает барионный октет (рис. 9.4) и заметно хуже октет псевдоскалярных мезонов (рис. 9.5).
