Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
ФЙ1= Z —--— " (7-14)
Zvfe=Vt V11Iv12!... V21Iv22!...
Z
Эти величины являются коэффициентами симметричных полиномов
,(v) = (7-15)
[X] P
где sr =Jtf +X2 +... + Xrn, а суммирование в (7.15) проводится по всем перестановкам нижних индексов, которые приводят к несовпадающим между собой одночленам.
113 Линейная независимость характеров следует из линейной независимости
полиномов j(v), а последняя вытекает из функциональной независимости полиномов sr.
dsr
Действительно, якобиан
не обязательно брать равным п, достаточно, чтобы это число было не меньше
числа ненулевых слагаемых в разбиении [А,].
Фробениус показал, что коэффициенты % полинома
,WVx „Лі+п-1Х2+п-2 Xn
дх,-
= п\[ (X1 - Xj) Ф 0. Число переменных Xi при вычислении
KJ
D(xl,...,xn)s{v) = Yr(v)Z8рРх11+И х21+п -V [X] P
являются простыми характерами группы перестановок. Здесь
Щхи...,хт) = ПС*; -Xj) = YbpPxr1Xr2-X0m =
i<j P
(7.16)
1 1 1
Хт Хщ-1 .. x1
хт~1 лт M-1 лт-1 т-1 .. x1
iV) (размерность НП)
ш
X = X1 п_2 приводит к результатам: (1 2)
Xo
п\
A1I-Affl!
AA1,...,Am), Km=Xm+т-і,
^ A !A2!...(Аг--2)!..AmI
(7.17)
7.4. Графические методы вычисления характеров НП групп перестановок
Последовательно умножая D(xi) на Si, мы будем получать знакопеременные
полиномы Y5pPxl+m~lxr2-x°m, Y5pPXi+m~lxr2-x0m + Y^pPxl+m~lxl2+m-2...x°m и т.д. (Показатели последовательно возрастают на 1, но таким образом, что значения двух
показателей при этом никогда не выравниваются.) При этом коэффициент %
(Iv)
1
оказывается равным числу слагаемых в выражении D(xi)sі " ,
-/«-(!-і). CA-rI P
114 ИЗ которых МОЖНО получить Z & рРх\] +П '"-?'" путем увеличения одного
из
показателей на единицу, для чего, очевидно, необходимо, чтобы А'г- = А,—1 для одного из индексов /, а для остальных к) = A7. Отсюда вытекает рекуррентное соотношение:
(7-18)
1 ' [V] 1 '
где схемы Юнга [А'] получаются из А "правильным" вычеркиванием одной клетки. Последовательно применяя эту процедуру, находим, что размерность НП [А] равна числу стандартных таблиц для схемы [А], которые получаются "правильным" размещением п чисел по клеткам схемы (возрастание номеров слева направо в каждой строчке и сверху вниз в каждом столбце). Стандартные таблицы для схемы [31]:
1 2 3
4
1 3 4
2
1 2 4
3
Со стандартными таблицами схемы [А] однозначно связаны так называемые
XX X
решеточные перестановки выражений X11 X21 ...хтт. Таблицы указывают
последовательность появления множителей X в этом выражении (соответствующую правилу, отмеченному в начале параграфа). Так, указанные выше таблицы схемы [31] соответствуют решеточным перестановкам jC]JC]JC]JC2, Х1Х2Х1Х1 и Х1Х1Х2Х1. Стандартные таблицы, решеточные перестановки (или связанные с ними символы Яманучи, см. 7.5) можно использовать для нумерации строк (базисных функций) НП. Аналогично (7.18) получается и правило ветвления:
*a-z*a-A,-i"j- ел«»)
Формулировка правил ветвления —» Х(/) ПРИ r = 2,3...:
[V]
(7.20)
Схемы [А'] получаются из [А] отбрасыванием "правильных" полосок длины г вида
——— ; знак + отвечает размещению г клеток на нечетном числе строчек
(положительные, или четные размещения), знак — отвечает нечетным, или отрицательным, размещениям (на четном числе строчек).
115 Общее правило вычисления ^ — на схеме [А,] последовательно
размещаются правильным образом Ii точек с номером 1, I2 точек с номером 2 и т.д. Характер равен количеству диаграмм с четным числом отрицательных размещений минус количество диаграмм с нечетным числом отрицательных размещений. Если правильное размещение точек невозможно, характер равен нулю. Очевидно, характеры тождественного и знакопеременного представлений удовлетворяют этому условию.
Разбиения [А] и [А] называются сопряженными, если схема одного из них получается из схемы другого заменой строк на столбцы. Соответствующие представления также называются сопряженными. Характеры сопряженных представлений связаны соотношением:
X(V) = X(V)X(V) •
(7.21)
Учитывая результат задачи 2.7, можно утверждать, что знакопеременное представление содержится лишь в произведениях двух НП вида [А] х [А].
7.5. Матрицы НП групп перестановок
Представление [А] группы Pn для подгруппы Pn_i является приводимым и раскладывается по НП [А'] согласно (7.19), поскольку элементы (v) подгруппы Pn_i имеют в Pn вид ((v),l). В подходящем базисе
D^(P) = YjDr(P), P^Ри_ь где Dy(p) — матрица НП [А'], причем [А'] получается из [А] вычеркиванием клетки из
строчки г. Для определенности будем располагать матрицы Dr в порядке убывания г.
Переходя последовательно к подгруппам Рп_2,..., Pi, в качестве индексов строчек НП
получаем символы Яманучи (Y-символы), однозначно связанные со стандартными
таблицами Юнга и решеточными перестановками. Символ Яманучи — прочитанная
справа налево решеточная перестановка. Например, строчки НП [31 ] группы Р5 такие:
32111,31211,31121, 13211, 13121, 11321.
