Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
99 базисные вектора аг —> 0, u(r) = const, и блоховская функция становится гармонической функцией — собственной функцией оператора импульса (инфинитезимального оператора сдвига). Представление произвольной функции в виде комбинации блоховских функций является аналогом разложения в ряд Фурье.
Если гамильтониан системы обладает трансляционной симметрией, то можно стационарные состояния описывать индексом НП группы трансляций к (даже если трансляции составляют лишь часть полной группы симметрии) и представить соответствующие функции в виде блоховских функций. Как обычно, при использовании функций симметрии гамильтониан оказывается диагональным по индексу к (согласно лемме Шура), в матрице его выделяются блоки Hk, соответствующие каждому значению к, и дальнейшее решение уравнения Шредингера сводится к диагонализации этих блоков: HkUnk = Еп(к)ипк. В одноэлектронных задачах индекс п соответствует "зонам" спектра Еп(к), в теории нормальных колебаний решетки — "ветвям" (или модам) колебаний. В отдельных точках зоны Бриллюэна возможно вырождение "зон", связанное с более высокой, нежели чисто трансляционная, симметрией решеток.
6.6. Представления пространственных групп
Любое неодномерное представление g —> D(g) пространственной группы для подгруппы трансляций является приводимым. Звезда представления пространственной группы D(g) — совокупность неэквивалентных между собой волновых векторов к ("лучей" звезды), входящих в разложение
Dita) = Дц (a) + Dkl(a) + ... + Dks(a). (6.8)
Каждый луч к в этом разложении может встретиться несколько раз; пространство представления разбивается на собственные подпространства Lk операторов D(ta), относящиеся к собственным значениям e~lLa. Звезда представления инвариантна относительно пространственной группы:
D(ta )D(g)ek = D(g)D(t \ )ек = exp(-/* • g~la)D(g)ek =
s (6-У)
= exp (-igk-a)D(g)ek,
т.е., вместе с лучом к звезда содержит и луч gk, где g — любой элемент группы (удобно считать, что любые трансляции не меняют волновые вектора, как и вектора решетки, tk=k). Звезда неприводимая, если все лучи ее получаются из одного преобразованиями
100 пространственной группы (фактически, поворотами из кристаллического класса); поэтому ее можно обозначить одним лучом, {к}. Приводимые звезды расщепляются на несколько неприводимых; соответственно, пространство представления разбивается в CJTViMy подпространств, относящихся к этим неприводимым звездам. Каждое из этих подпространств, как вытекает из (6.9), инвариантно относительно всех операторов представления. Таким образом, звезда НП — неприводима. Звезда приводимого представления также может быть неприводимой (например, если оно составлено из одинаковых НП).
Группа волнового вектора k: Gk a G, gkk = к + b. Gk содержит все трансляции Т, фактор-группа Gk/ T ос Fk a F.
Рассмотрим представление D(g) с неприводимой звездой {к}. Подпространство Lk, в соответствии с (6.9), инвариантно относительно всех операторов Digii), gk є Gk, т.е., на этом подпространстве индуцируется представление группы волнового вектора к, называемое малым представлением, D(gk) —> D^igk). Представление Dig) может быть восстановлено по малому представлению следующим образом:
Пусть в2~1\..., е^ — базис Lk (малого представления Dk), {gy} — некоторое множество элементов, порождающих звезду {к}: gjk = kj, j = 2,...,1, I — число лучей звезды. Отметим, что пространственная группа может быть представлена в виде следующей CJTViMbi смежных классов:
G = Gk + g2Gk + ... + giGk. Исходя из базиса с: Lk построим систему базисных векторов всего пространства
L= Lk + Lk2 + ... + Lki:
= Digj) еЛ-, е^ = Digj) Если gkj = kjто gj~lggj є Gk и g = gj- gk gfl. Тогда матрица Dig) в выбранном нами базисе имеет вид:
Dig)eij) = ZDVv(gk)e(J\ [D(g)]U = DkVvigk)bikr,gkj +b). (6.10)
v'
Построенное таким образом представление Dig) унитарно, если унитарно малое представление Dk: Dig) неприводимо, если неприводимо Dk. Размерность представления D равна размерности Dk, умноженной на число лучей звезды. Таким образом, построение НП пространственных групп сводится к построению неприводимых малых представлений.
101 Представления группы волнового вектора Gk связаны с представлениями ее
фактор-группы Fk. Произвольный элемент Gii имеет вид gk = tar, г є Fk, a = ar + а.
Матрица elkaDk(gk) = D(r) не зависит от вектора решетки а и определяется лишь
поворотным элементом г. Отображение г —> D(r) обладает следующим свойством:
Dinr2) = exp(ik.an) Dk Igig2) = exp[z"A.(a,2- ai - a2)]D(r{)D(r2)
=exp[z(rf1A: - к). 42~\D(r\)D(r2) (6.11)
(так как сх\2 = ai + г, а2) и в общем случае относится к так называемым проективным
представлениям. Множество множителей co(ri,r2) = expi(k-r~lk)-a2, отличающих
рассматриваемое матричное отображение группы Fk от обычного представления,
называют фактор-системой проективных представлений. В теории
пространственных групп она определяется звездой представлений {к} и набором
неэлементарных трансляций поворотных элементов группы. Из построения видно, что
