Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
вращения на (р/п)щ (винтовое вращение; щ — минимальный вектор решетки, направленный вдоль оси, р — целое число, р<п) снабжается индексом р. Плоскость скольжения обозначается буквами a,b,c,n,d вместо т в зависимости от направления неэлементарного вектора скольжения щ по отношению к ребрам ячейки Бравэ. Так, Cs1= Pm (номер 6 из 230 групп), Cs2= Pb (7), C22= Р2, (4), C2h4= PllIm(W).
Рассмотрим подробнее пространственную группу
Oh7 (= Fd 3 т, №227); она
описывает, например, структуру алмаза, изображенную на рисунке: кубическая гранецентрированная решетка (узлы помечены темными кружками) с основными векторами ai = (а/2)(110), а2 = (а/2)(101), аз = (а/2)(011), а — ребро куба Бравэ; объем элементарной ячейки а /4. В решетку вдвинута точно такая же решетка с узлами
97 (светлые кружки), отстоящими от ближайших узлов исходной решетки на расстоянии в четверть пространственной диагонали куба [позиции (а/4)(111)]. Структура переходит в себя при всех преобразованиях подгруппы Td (в качестве центральных точек можно выбрать как узлы решетки, так и центры кубов), тогда как инверсия относительно центра должна сопровождаться неэлементарной трансляцией а,/ = (а/4)(111). Ввиду условия (6.5) ту же трансляцию мы должны приписать и остальным элементам группы Oh, входящим в смежный класс ZTd. Отметим, что можно воспользоваться соотношением (6.2) для переопределения системы векторов неэлементарных трансляций. Если, например, перенести центр на середину расстояния между узлами двух подрешеток, неэлементарная трансляция для инверсии обратится в нуль.
6.4. Унитарные НП группы трансляций
Абелева группа трансляций обладает лишь одномерными НП: Z)*(a)=exp[-i?a)]=exp(-ik.a), где вектор к определяется условиями (к. а) = ?a). Неоднозначность выбора к: векторы как' соответствуют одному и тому же представлению, Dk> = Dk, если они отличаются на вектор Ъ, к' = к+Ь, удовлетворяющий условиям Ъ.а = 2тип (т— целое) для всех а є Т. Представим Ъ в виде разложения по трем некомпланарным векторам: Ъ = п\Ъ\ + п2Ь2 + щЪъ, где
2л 2л 2л
Ъ\ = —а2хаз, b2 = — а3хаь Ъъ = —aixa2. (6.6)
?>2q І 2Q І 2Q
Приведенные выше условия сводятся к требованию целочисленности координат (п\,п2,т) в этом базисе; векторы Ъ образуют решетку, называемую обратной решеткой (по отношению к исходной решетке Бравэ). Неэквивалентные друг другу НП группы трансляций описываются векторами к, лежащими в пределах элементарной ячейки обратной решетки.
Обычно вместо основного параллелепипеда в качестве ячейки выбирают т.н. зону Бриллюэна (первую) — совокупность векторов к, которые нельзя укоротить добавлением какого либо вектора обратной решетки. Для построения зон Бриллюэна "начальный" узел обратной решетки соединяют векторами со всеми другими узлами и через середину каждого вектора перпендикулярно ему проводят плоскость. Получающийся при этом внутренний многогранник и является первой зоной Бриллюэна. Аналогичное построение для прямой решетки дает т.н. ячейку Вигнера-Зейтца. Очевидно, точечные симметрии обратной и прямой решетки совпадают:
98 Ko6p=K. Зона Бриллюэна обладает симметрией К (вся система векторов и плоскостей преобразованиями из К переводится в себя). Однако типы прямой и обратной решеток не обязаны совпадать; так, при обращении простой кубической решетки получается простая кубическая решетка, гранецентрированная кубическая решетка переходит в объемноцентрированную, и наоборот. На рисунке изображена восьмая часть зоны Бриллюэна для кубических гранецентрированных кристаллов и отмечены некоторые характерные точки (в обозначениях Боукарта-Вигнера-Смолуховского). Элементарные векторы обратной решетки:
Аі=(2тг/<я)(11-1), й2=(2я/а)(1-11), Аз=(2тг/а)(-111); размер элементарного куба 4к/а. Отметим еще, что внешняя форма зоны Бриллюэна не полностью определяется типом решетки; зона может выглядеть по-разному в зависимости от степени
¦У
вытянутости параллелепипедов Бравэ обратной
li--і----j^ w
>'х решетки.
Каждая внутренняя точка зоны Бриллюэна отвечает вполне определенному НП группы трансляций кристаллической решетки Dk; в частности, центр зоны соответствует тождественному представлению Do(a)=\. В этом отношении определенной особенностью обладают границы зоны, поскольку противоположные грани удалены друг от друга как раз на вектор решетки (а), и две точки к и к'=к + а на этих гранях эквивалентны друг другу в том смысле, что они отвечают одному и тому же НП: Dk{a) = Dk(a). Могут оказаться эквивалентными и более чем две точки, лежащие на ребрах и вершинах многогранника, ограничивающего зону Бриллюэна.
fk(r) = eikruk(r),
6.5. Теорема Блоха
Теорема Блоха утверждает, что представление Dk группы трансляций осуществляется функцией fk(r) тогда и только тогда, когда она имеет вид:
(6.7)
где щ(г) — произвольная периодическая функция: ик(г + а) = ик(г). Действительно, если DWkir) =Яг~а) = с~ік%(г), то D(a)c~ikJk(r)= c~M^fk(^a) = c~ikJk(r), т.е., функция Є-'к* fk(r) — периодическая; она преобразуется по тождественному представлению группы решеточных трансляций. Функцию (6.7) называют также блоховской функцией', она является функцией симметрии для группы трансляций. В пределе, когда
