Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
94 решеток, изображенных на рисунке, относящихся к четырем плоским сингониям — C2, C2V, Сфу, Сбу (движениям плоскости).
a) C2 b)C2v с) C2v d)C6v e)C4v
В пространственных решетках моноклинной сингонии плоскости, перпендикулярные
оси C2, выглядят подобно рис. а). Простая моноклинная решетка Tm получается, если
между плоскостями, проведенными через ближайшие узлы на оси C2, нет других
плоскостей. В базоцентрированной решетке Ymh посередине между этими двумя
плоскостями размещается еще одна, причем ось C2 может проходить через точки этой
третьей плоскости, лежащие в центре ячейки или делящие пополам базисные векторы
плоскости. Всего имеется 14 типов решеток Бравэ: Гг; Tm, Tm \ Г0, Т0Ь, Г/, г/; Yq, Yq ] Гс,
ГД г/; Trh\ Th, где нижний индекс означает сингонию. Интернациональная символика
решеток включает обозначение группы К, которому предшествуют буквы Р, F, I, А, В, — f — ъ
С. Например, Гг = P 1, Г/ = Fm 3 m,. Tm = А2/т. Описание всех решеток, различные их обозначения см. в книге Ковалева (1986) (см. также Бир и Пикус, 1972). Для всех сингоний, за исключением гексагональной, вышеуказанное построение позволяет получить параллелепипед Бравэ, обладающий симметрией сингонии К и ребра которого являются векторами решетки. Для простых решеток Бравэ (без верхних индексов, или первая буква P в международных обозначениях) параллелепипед Бравэ совпадает с элементарной ячейкой. В базо центрирован пых решетках (индекс Ъ, или А,В,С) имеются узлы в центрах двух противоположных граней параллелепипеда Бравэ, в гранецентрированных (f, F)- в центрах всех граней, в объемноцентрированных (v, Г) — в центре параллелепипеда. Каждый тип решетки характеризуется параметрами, задающими размеры соответствующего параллелепипеда Бравэ. Кубические решетки — однопараметрические (величина ребра куба), тригональные и тетрагональные решетки — двухпараметрические и т.д.
Понятие о подчинении систем: система А подчиняет В (А —> В),
если Kg cz Ka и
каждый тип решетки системы А может быть переведен в один из типов В бесконечно малой деформацией. Схема подчинения сингоний:
O1
D3d D4h U
6h
D
2h
' 2h
95 6.3. Кристаллические классы. Неэлементарные трансляции
Пространственная группа сложных кристаллов может и не содержать некоторые элементы сингонии К. Так будет, если "молекула", помещенная в элементарную ячейку (или параллелепипед Бравэ), обладает симметрией ниже К. Кристаллическим классом называют подгруппу F с К, элементы которой переводят каждое направление в кристалле в эквивалентное ему. Существует 32 кристаллических класса по числу подгрупп семи сингоний К. Они распределяются по сингониям по принципу ("по одежке протягивай ножки"): F относится к К, если F а К, но не содержится в подчиненной сингонии. Отметим, что классы сингонии D3d должны быть повторены и в D6h, поскольку D3d не подчинено D6h.
Сингонии Классы
Т, S2 Ci, S2
м, C2h C2, Cs, C2h
о, D2h C2v, D2, D2h
Q, D4h C4, S4, C4h, C4v, D2d, D4, D4h
R, D3d C3, S6, C3v, D3, D3d
Н, D6h C3h, C6, C6h, D3h, C6V, D6, D6h
С, Oh Т, Th, Td, 0, Oh
Кристаллический класс (группа симметрии направлений) определяет макроскопическую симметрию кристалла. В результате поворота (или зеркального поворота) г є F кристалл может и не совместиться с собой: решетка Бравэ, конечно, перейдет в себя, но "молекулы" в ячейках (эквивалентные точки) могут оказаться
смещенными относительно исходных позиций, так что для совмещения кристалла поворот г необходимо дополнить "неэлементарной" трансляцией Iar.
Простой иллюстрацией ситуации является двумерный кристалл, изображенный на рисунке. Прямоугольная решетка относится к сингонии C2v, но элементы группы С2 и с/1' (отражение относительно вертикальной линии) не входят в пространственную группу, поскольку здесь направления вправо и влево неэквивалентны. "Кристаллический класс" составляет подгруппа (е,с/2'), связывающая пары эквивалентных направлений, симметричных относительно отражения в
U1
CXD ' CXD CXD OOcxi
CXIi CXD
96 горизонтальной линии. Для самосовмещения кристалла после отражения необходимо совершить трансляцию на половину базисного вектора а2.
Векторы аг определены с точностью до вектора решетки, что позволяет выбрать их в виде:
ar= CLr а\ + Cir а2 + CLr 0 < аг!<1. Таким образом, структура пространственной группы определяется типом решетки (базисными векторами, решеткой Бравэ), кристаллическим классом F, неэлементарными трансляциями CLr, отвечающими каждому из элементов F.
G = T Є Zr* tar г Т, G/T ос F. (6.4)
Структура группы F накладывает определенные условия на векторы CLr:
CLrrn = CLri + ПОіГ2 + а, а є Т. (6.5)
Эти условия ограничивают общее число пространственных групп до 230. Обозначаются пространственные группы символом класса F с верхним индексом, различающим тип решетки и набор неэлементарных трансляций для образующих элементов группы F. Например, Cs1 соответствует кристаллу класса Cs с простой моноклинной решеткой и нулевой трансляцией аст = (ООО); Cs — то же с трансляцией (1AOO); Cs3 — кристалл класса Cs с базоцентрированной моноклинной решеткой и нулевой трансляцией Oa, и т.д. Используются также международные обозначения — в символе решетки вращение п, сопровождаемое неэлементарной трансляцией вдоль оси
